فضای شبه متریک (Pseudometric Space)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع فضاهای متریک (Metric Space) را در آموزش زیر شرح دادیم :
فضای شبه متریک (Pseudometric Space) :
تعریف: فضای شبه متریک مانند فضای متریک است با این تفاوت که شرط
\[ d(x, y) = 0 \]لزوما به معنای
\[ x = y \]نیست. یعنی ممکن است دو نقطه متمایز فاصله صفر داشته باشند. بقیه شرایط (نامنفی بودن، تقارن و نامساوی مثلث) همچنان برقرارند.
\[ d(x, y) \geq 0,\quad d(x, x) = 0,\quad d(x, y) = d(y, x) \] \[ d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z) \]اما: ممکن است
\[ d(x, y) = 0 \]برای
\[ x \neq y \]توضیح: در این فضا، نقاط مختلف می توانند فاصله صفر داشته باشند، بنابراین تابع فاصله دیگر قادر به تشخیص نقاط نیست. این فضاها معمولا در آنالیز تابعی و هنگامی که بخواهیم شباهت را اندازه بگیریم ظاهر می شوند.
📌 مثال ساده:
فرض کنید
\[ X = \{a, b\} \]و تعریف کنیم
\[ d(a, a) = 0, d(b, b) = 0, d(a, b) = 0, d(b, a) = 0 \]. این یک شبه متریک است زیرا همه ی خواص جز شرط اول برقرارند (فاصله ی دو نقطه ی متمایز صفر است).
مثال مهم تر: در فضای توابع
\[ L^p \]، اگر دو تابع تقریبا همه جا برابر باشند، فاصله ی
\[ L^p \]بین آنها صفر است، بنابراین
\[ L^p \]در ابتدا یک شبه متریک است و بعد با در نظر گرفتن کلاس های هم ارزی به متریک تبدیل می شود.
