معادله انتگرالی فردهولم نوع اول غیرخطی (Nonlinear Fredholm Integral Equation of the First Kind)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات انتگرالی (Integral Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله انتگرالی فردهولم نوع اول غیرخطی (Nonlinear Fredholm Integral Equation of the First Kind) :
شکل عمومی این معادله به صورت زیر است:
\[ f(x) = \int_a^b K(x,t, u(t)) dt \]که در آن
\[ K \]می تواند به طور غیرخطی به
\[ u(t) \]وابسته باشد. تابع مجهول
\[ u \]فقط در داخل انتگرال ظاهر می شود و در خارج انتگرال حضور ندارد. این معادلات معمولا بدطرح (ill-posed) هستند، یعنی تغییرات کوچک در
\[ f \]می تواند منجر به تغییرات بزرگ در جواب
\[ u \]شود. به عنوان مثال، معادله
\[ f(x) = \int_0^1 \sin(x t u(t)) dt \]یک معادله غیرخطی فردهولم نوع اول است. حل این معادلات بسیار دشوارتر از حالت خطی است و نیازمند روش های منظم سازی غیرخطی مانند منظم سازی تیخونوف غیرخطی، روش های تکراری مانند نیوتن-تیخونوف، یا روش های تصادفی است. این معادلات در مسائل عکس غیرخطی مانند تصویربرداری پزشکی (به ویژه در ماموگرافی با کنتراست غیرخطی)، توموگرافی غیرخطی، و برخی مسائل در هدایت گرمایی غیرخطی ظاهر می شوند.
