معادله انتگرالی ولترا نوع دوم غیرخطی (Nonlinear Volterra Integral Equation of the Second Kind)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات انتگرالی (Integral Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله انتگرالی ولترا نوع دوم غیرخطی (Nonlinear Volterra Integral Equation of the Second Kind) :
شکل عمومی:
\[ u(x) = f(x) + \lambda \int_a^x K(x,t, u(t)) dt \]این معادله در شاخه های مختلف علوم کاربرد دارد. به عنوان مثال، معادله معروف "پرچ-دریکل" (Volterra's population equation) برای جمعیت های با رقابت درون گونه ای:
\[ u(x) = u_0 - \int_0^x u(t)u(x-t) dt \]از این نوع است. برای اثبات وجود و یکتایی جواب در بازه کوچک از قضیه انقباض استفاده می شود (تحت شرایط لیپشیتز روی
\[ K \]نسبت به
\[ u \]). روش های حل شامل روش پیکارد تکراری، روش سری توانی (اگر توابع تحلیلی باشند)، روش های عددی گام به گام مانند روش اویلر-ولترا، و روش های رونگ-کوتا برای معادلات انتگرالی است. این معادلات در دینامیک سیالات غیرخطی با حافظه، مدل های رشد تومور، و سیستم های بیولوژیکی با تأخیر وابسته به تراکم کاربرد دارند.
مثال:
\[ u(x) = 1 + \int_0^x (x-t) u(t)^2 dt \]یک معادله ولترا نوع دوم غیرخطی است که با روش پیکارد قابل حل است.
