معادله انتگرالی فردهولم نوع دوم با هسته انحطاط یافته (Fredholm Integral Equation of the Second Kind with Degenerate Kernel)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع معادلات انتگرالی (Integral Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :

معادله انتگرالی فردهولم نوع دوم با هسته انحطاط یافته (Fredholm Integral Equation of the Second Kind with Degenerate Kernel) :

شکل معادله:

\[ u(x) = f(x) + \lambda \int_a^b \sum_{i=1}^n g_i(x) h_i(t) u(t) dt = f(x) + \lambda \sum_{i=1}^n g_i(x) \int_a^b h_i(t) u(t) dt \]

با تعریف

\[ c_i = \int_a^b h_i(t) u(t) dt \]

، معادله به

\[ u(x) = f(x) + \lambda \sum_{i=1}^n c_i g_i(x) \]

تبدیل می شود. حال

\[ c_i \]

ها را با ضرب

\[ h_j(x) \]

در طرفین و انتگرال گیری به دست می آوریم:

\[ c_j = \int_a^b h_j(x) f(x) dx + \lambda \sum_{i=1}^n c_i \int_a^b h_j(x) g_i(x) dx \]

این یک دستگاه خطی

\[ n \times n \]

برای بردار

\[ c = (c_1,...,c_n) \]

است:

\[ c = f_h + \lambda M c \quad \Rightarrow \quad (I - \lambda M) c = f_h \]

که در آن

\[ (M)_{ji} = \int_a^b h_j(x) g_i(x) dx \]

و

\[ (f_h)_j = \int_a^b h_j(x) f(x) dx \]

. پس از حل دستگاه و یافتن

\[ c \]

، جواب

\[ u(x) = f(x) + \lambda \sum c_i g_i(x) \]

به دست می آید. این روش حل دقیق معادلات با هسته انحطاط یافته است. کاربردها: مسائل مقدار ویژه با هسته انحطاط یافته، تقریب هسته های عمومی با هسته های انحطاط یافته در روش های عددی مانند گالرکین.