معادله انتگرالی فردهولم نوع اول با هسته انحطاط یافته (Fredholm Integral Equation of the First Kind with Degenerate Kernel)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات انتگرالی (Integral Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله انتگرالی فردهولم نوع اول با هسته انحطاط یافته (Fredholm Integral Equation of the First Kind with Degenerate Kernel) :
هسته انحطاط یافته (جداپذیر) به صورت مجموع متناهی حاصل ضرب توابع تک متغیره نوشته می شود:
\[ K(x,t) = \sum_{i=1}^{n} g_i(x) h_i(t) \]معادله نوع اول با چنین هسته ای به صورت زیر است:
\[ f(x) = \int_a^b \sum_{i=1}^{n} g_i(x) h_i(t) u(t) dt = \sum_{i=1}^{n} g_i(x) \int_a^b h_i(t) u(t) dt \]با تعریف ثابت های
\[ c_i = \int_a^b h_i(t) u(t) dt \]، معادله به
\[ \sum_{i=1}^n c_i g_i(x) = f(x) \]تبدیل می شود. این یک رابطه خطی بین توابع معلوم
\[ g_i \]و
\[ f \]است. برای وجود جواب،
\[ f \]باید در فضای تولید شده توسط
\[ \{g_i\} \]قرار داشته باشد. اگر چنین باشد، ضرایب
\[ c_i \](و نه
\[ u \]) تعیین می شوند. اما
\[ u \]از روی این
\[ c_i \]به طور یکتا تعیین نمی شود (چرا؟ چون هر تابعی که این گشتاورهای یکسان را بدهد جواب است). بنابراین معادله نوع اول با هسته انحطاط یافته معمولا جواب یکتا ندارد مگر با قیود اضافی. این معادله در مسائل گشتاوری (moment problems) ظاهر می شود، مانند بازسازی یک تابع از گشتاورهایش با وزن های
\[ h_i \]. برای به دست آوردن یک جواب منحصر به فرد، معمولا از منظم سازی استفاده می شود یا فرض می کنیم
\[ u \]در فضایی با پایه ای متناهی قرار دارد.
