معادله انتگرالی آبل (Abel Integral Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات انتگرالی (Integral Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله انتگرالی آبل (Abel Integral Equation) :
یکی از قدیمی ترین و مشهورترین معادلات تکین است که توسط نیلز هنریک آبل در مسئله تاوکرون (tautochrone) معرفی شد. شکل استاندارد نوع اول:
\[ f(x) = \int_a^x \frac{u(t)}{(x-t)^\alpha} dt, \quad 0<\alpha<1 \]و نوع دوم:
\[ u(x) = f(x) + \lambda \int_a^x \frac{u(t)}{(x-t)^\alpha} dt \].
این معادله جواب تحلیلی دقیق دارد. برای نوع اول، جواب به صورت:
\[ u(x) = \frac{\sin(\pi\alpha)}{\pi} \frac{d}{dx} \int_a^x \frac{f(t)}{(x-t)^{1-\alpha}} dt \]کاربردهای آبل شامل فیزیک پلاسما، میکروسکوپی نیروی اتمی، و مسائل معکوس در تصویربرداری پزشکی است.
مثال عددی: برای
\[ f(x)=x \]و
\[ \alpha=0.5 \]، جواب
\[ u(x)=\frac{2}{\pi}\sqrt{x} \]به دست می آید.
نویسنده علیرضا گلمکانی
شماره کلید 9377
گزینه ها 
نظرات 0 0 0