معادله انتگرالی تکین (Singular Integral Equation)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع معادلات انتگرالی (Integral Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :
معادله انتگرالی تکین (Singular Integral Equation) :
معادله ای که هسته آن در یک یا چند نقطه از بازه انتگرال گیری ناتوان (بی�نهایت یا ناپیوسته از نوع قوی) می شود. همچنین اگر کران های انتگرال نامتناهی باشند نیز معادله تکین محسوب می گردد. شکل عمومی ممکن است به صورت زیر باشد:
\[ a(x)u(x) = f(x) + \lambda \int_a^b \frac{K(x,t)}{|x-t|^\alpha}\, u(t)\,dt, \quad 0<\alpha\le 1 \]نوع خاص مهم با هسته کوشی
\[ \frac{1}{x-t} \]در نظریه خواص الاستیک و آیرودینامیک ظاهر می شود. حل این معادلات نیازمند توابع خاص و انتگرال گیری به مفهوم مقدار اصلی کوشی است.
📘 کاربردها: شکست های مکانیکی، انتشار امواج شوک، نظریه پتانسیل با لایه های تکی.
✏️ مثال کلاسیک: معادله
\[ \frac{1}{\pi} \int_{-1}^{1} \frac{u(t)}{x-t} dt = f(x) \]یک معادله تکین از نوع کوشی است. جواب آن با استفاده از چندجمله های چبیشف به دست می آید.
روش های تحلیلی شامل تبدیل به مسئله ی مرزی روی صفحه مختلط و روش های عددی خاص مانند گسسته سازی با نقاط هم مکان (collocation) است.
🔹 در نظریه وینر-هوف نیز معادلات تکین روی نیم خط ظاهر می شوند.
