معادله انتگرالی خطی (Linear Integral Equation)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع معادلات انتگرالی (Integral Equation) را در آموزش زیر شرح دادیم :

معادله انتگرالی خطی (Linear Integral Equation) :

به معادله ای گفته می شود که تابع مجهول

\[ u(x) \]

فقط به صورت خطی (توان اول) در داخل یا خارج انتگرال ظاهر شود. شکل کلی آن به صورت زیر است:

\[ u(x) = f(x) + \lambda \int_a^b K(x,t)\,u(t)\,dt \]

در اینجا هسته

\[ K(x,t) \]

و تابع معلوم

\[ f(x) \]

داده شده اند و

\[ \lambda \]

یک پارامتر است. مهم ترین ویژگی: اگر

\[ u_1 \]

و

\[ u_2 \]

جواب باشند، هر ترکیب خطی

\[ c_1u_1+c_2u_2 \]

نیز جواب معادله همگن متناظر است.

کاربرد: مدل سازی پدیده های فیزیکی خطی مانند انتقال حرارت، ارتعاشات، مکانیک کوانتومی.

✏️ مثال ساده: معادله

\[ u(x)=x + \int_0^1 (x+t)u(t)dt \]

یک معادله خطی است. برای حل می توان از روش هسته انحطاط یافته استفاده کرد.

📌 توضیح بیشتر: خطی بودن به این معناست که عملگر انتگرالی

\[ Tu = \int K u \]

یک عملگر خطی است:

\[ T(au+bv)=aTu+bTv \]

. بسیاری از مسائل فیزیک کلاسیک به معادلات خطی ختم می شوند.

🔄 روش های حل: تبدیل به معادله دیفرانسیل، استفاده از سری های توانی، روش عددی مانند گالرکین.