بهینه سازی شانسی (Chance-Constrained Optimization)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های بهینه سازی (Optimization Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

بهینه سازی شانسی (Chance-Constrained Optimization) :

📌 تعریف: بهینه سازی شانسی (Chance-Constrained Optimization) یک رویکرد در بهینه سازی تصادفی است که در آن قیود مسئله باید با یک سطح احتمال مشخص (آستانه اطمینان) برقرار باشند، نه لزوما در همه حالات. به عبارت دیگر، نقض قیود با یک احتمال محدود مجاز است. این روش توسط چارنز و کوپر در سال ۱۹۵۹ معرفی شد.

📐 فرمول بندی

\[ \min_{x} \quad f(x) \] \[ \text{s.t.} \quad P(g_i(x, \xi) \leq 0) \geq \alpha_i \quad i=1,\ldots,m \] \[ \quad x \in \Omega \]

که در آن:

\[ x \]

بردار تصمیم است.

\[ \xi \]

بردار متغیرهای تصادفی با توزیع احتمال معلوم است.

\[ g_i(x, \xi) \leq 0 \]

قیود تصادفی هستند.

\[ P \]

نشان دهنده احتمال است.

\[ \alpha_i \]

سطح اطمینان (معمولا نزدیک به ۱) است، یعنی احتمال برقراری قید iام باید حداقل

\[ \alpha_i \]

باشد.

🔧 انواع قیود شانسی

قیود شانسی منفرد (Individual Chance Constraints): هر قید به صورت جداگانه یک شرط احتمالی دارد، مانند فرمول بالا.

قیود شانسی مشترک (Joint Chance Constraints): احتمال برقراری همزمان همه قیود از یک آستانه بیشتر است:

\[ P(g_1(x, \xi) \leq 0, \ldots, g_m(x, \xi) \leq 0) \geq \alpha \]

📈 کاربردها

مدیریت منابع آب (تأمین نیاز آبی با یک سطح اطمینان).

برنامه ریزی تولید در شرایط تقاضای تصادفی.

مدیریت پرتفوی (اطمینان از بازده حداقلی با احتمال بالا).

طراحی سازه ها در برابر بارهای تصادفی.