بهینه سازی چندهدفه (Multi-Objective Optimization)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های بهینه سازی (Optimization Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بهینه سازی چندهدفه (Multi-Objective Optimization) :
📌 معرفی
بهینه سازی چندهدفه (Multi-Objective Optimization) به مسائلی می پردازد که در آنها بیش از یک تابع هدف وجود دارد که معمولا با یکدیگر در تضاد هستند (مانند کمینه کردن هزینه و بیشینه کردن کیفیت). در این مسائل، به جای یک جواب بهینه، مجموعه ای از جواب ها وجود دارد که در آنها نمی توان یک هدف را بدون بدتر کردن هدف دیگر بهبود بخشید. این مجموعه جواب ها "مرز پارتو" (Pareto Front) نامیده می شوند.
📐 فرمول بندی
\[ \min_{x \in \Omega} \quad (f_1(x), f_2(x), \ldots, f_m(x)) \]که
\[ \Omega \]فضای شدنی است. برخلاف بهینه سازی تک هدفه، فضای اهداف (Objective Space) به جای یک نقطه، یک مجموعه از نقاط (Pareto Front) است.
🔧 مفاهیم کلیدی
غلبه پارتو (Pareto Dominance): یک جواب
\[ x_A \]بر
\[ x_B \]غلبه می کند اگر:
در هیچ هدفی بدتر از
\[ x_B \]نباشد:
\[ f_i(x_A) \leq f_i(x_B) \]برای همه i (در مسائل کمینه سازی).
حداقل در یک هدف بهتر باشد:
\[ \exists j: f_j(x_A) < f_j(x_B) \].
بهینگی پارتو (Pareto Optimality): یک جواب
\[ x^* \]بهینه پارتو است اگر هیچ جواب دیگری در فضای شدنی نباشد که بر آن غلبه کند.
مجموعه پارتو (Pareto Set): مجموعه تمام جواب های بهینه پارتو در فضای متغیرها.
مرز پارتو (Pareto Front): مجموعه مقادیر توابع هدف متناظر با مجموعه پارتو.
