روش ضرایب لاگرانژ (Lagrange Multipliers Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های بهینه سازی (Optimization Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش ضرایب لاگرانژ (Lagrange Multipliers Method) :
📌 معرفی
روش ضرایب لاگرانژ (Lagrange Multipliers) یک روش کلاسیک برای حل مسائل بهینه سازی با قیود تساوی است. این روش توسط ژوزف لویی لاگرانژ در اواخر قرن ۱۸ ابداع شد. ایده اصلی تبدیل مسئله مقید به یک مسئله بدون قید با تعریف تابع لاگرانژ (Lagrangian Function) است.
📐 فرمول بندی
مسئله بهینه سازی با قیود تساوی:
\[ \begin{array}{ll} \text{Minimize} & f(x) \\ \text{Subject to:} & h_j(x) = 0, \quad j = 1, \ldots, p \end{array} \]تابع لاگرانژ به صورت زیر تعریف می شود:
\[ \mathcal{L}(x, \lambda) = f(x) + \sum_{j=1}^p \lambda_j h_j(x) \]که
\[ \lambda_j \]ضرایب لاگرانژ نامیده می شوند.
🔧 شرایط لازم برای بهینگی (شرایط KKT برای قیود تساوی)
اگر
\[ x^* \]یک نقطه بهینه موضعی باشد و شرایط منظم بودن قیود (Constraint Qualification) برقرار باشد، آنگاه
\[ \lambda^* \]وجود دارد به طوری که:
\[ \nabla_x \mathcal{L}(x^*, \lambda^*) = \nabla f(x^*) + \sum_{j=1}^p \lambda_j^* \nabla h_j(x^*) = 0 \] \[ h_j(x^*) = 0, \quad j=1,\ldots,p \]📊 تفسیر هندسی
در نقطه بهینه، گرادیان تابع هدف باید ترکیب خطی از گرادیان قیود باشد. به عبارت دیگر،
\[ \nabla f(x^*) \]باید در فضای پوشیده شده توسط
\[ \nabla h_j(x^*) \]قرار گیرد. ضرایب لاگرانژ (
\[ \lambda_j \]) ضرایب این ترکیب خطی هستند.
💼 مثال ساده
می خواهیم مساحت مستطیلی را با محیط ثابت بیشینه کنیم:
\[ \max_{x,y} xy \quad \text{s.t.} \quad 2x + 2y = P \]تابع لاگرانژ:
\[ \mathcal{L} = xy + \lambda (P - 2x - 2y) \]شرایط لازم:
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = y - 2\lambda = 0 \],
\[ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial y} = x - 2\lambda = 0 \], و قید. نتیجه:
\[ x=y=P/4 \].
