روش های معیار بهینگی (Optimality Criteria Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های بهینه سازی (Optimization Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش های معیار بهینگی (Optimality Criteria Methods) :
📌 معرفی
روش های معیار بهینگی (Optimality Criteria Methods) دسته ای از روش های تکراری برای حل مسائل بهینه سازی سازه ای و مهندسی هستند که بر اساس شرایط ریاضی بهینگی (مانند شرایط KKT) بنا شده اند. این روش ها به ویژه در بهینه سازی توپولوژی (Topology Optimization) و بهینه سازی سازه ها کاربرد گسترده دارند.
🔧 ایده اصلی
در این روش ها، از شرایط بهینگی برای استخراج یک رابطه تکراری بین متغیرهای طراحی استفاده می شود. این رابطه معمولا به صورت زیر است:
\[ x_i^{(k+1)} = x_i^{(k)} \cdot \left( \frac{\partial f / \partial x_i}{\lambda \partial g / \partial x_i} \right)^\eta \]که در آن
\[ x_i \]متغیر طراحی،
\[ f \]تابع هدف،
\[ g \]قید،
\[ \lambda \]ضرایب لاگرانژ، و
\[ \eta \]پارامتر میرایی است.
💼 کاربردها
بهینه سازی توپولوژی (Topology Optimization): روش SIMP (Solid Isotropic Material with Penalization) که در طراحی سازه های سبک وزن استفاده می شود، مبتنی بر معیار بهینگی است.
بهینه سازی شکل (Shape Optimization): تغییر شکل مرزها برای بهبود عملکرد.
بهینه سازی اندازه (Size Optimization): تعیین ابعاد بهینه اعضای سازه.
📊 مثال: تیر یکسرگیردار با حداقل وزن
می خواهیم تیری با حجم ثابت طراحی کنیم که حداکثر سفتی را داشته باشد. با استفاده از روش معیار بهینگی، رابطه زیر برای چگالی المان ها به دست می آید:
\[ \rho_e^{(new)} = \rho_e^{(old)} \left( \frac{E_e u_e^T k_0 u_e}{\lambda \rho_e^{(old)}} \right)^{1/2} \]این رابطه تکراری تا همگرایی اجرا می شود.
