کنترل بهینه (Optimal Control)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های بهینه سازی (Optimization Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

کنترل بهینه (Optimal Control) :

📌 تعریف: کنترل بهینه (Optimal Control) شاخه ای از ریاضیات و مهندسی است که به یافتن قوانین کنترلی برای یک سیستم دینامیکی می پردازد تا یک معیار عملکرد (Performance Index) بهینه شود. این روش در واقع تعمیمی از حساب تغییرات (Calculus of Variations) است و کاربردهای گسترده ای در robotics، اقتصاد، هوافضا و مهندسی شیمی دارد.

🧩 اجزای اصلی یک مسئله کنترل بهینه

معادلات حالت (State Equations): توصیف کننده دینامیک سیستم به صورت معادلات دیفرانسیل:

\[ \dot{x}(t) = f(x(t), u(t), t) \]

که در آن

\[ x(t) \]

بردار حالت و

\[ u(t) \]

بردار کنترل است.

تابع هزینه (Cost Function): معیاری که باید کمینه شود. معمولا به فرم بولزا (Bolza) نوشته می شود:

\[ J = \phi(x(t_f), t_f) + \int_{t_0}^{t_f} L(x(t), u(t), t) dt \]

جمله اول هزینه نهایی (Terminal Cost) و انتگرال هزینه مسیر (Running Cost) است.

قیود (Constraints): ممکن است شامل قیود روی حالت ها، کنترل ها، یا شرایط مرزی باشند.

افق زمانی (Time Horizon): می تواند محدود (

\[ t_f \]

متناهی) یا نامحدود باشد.

🔧 روش های اصلی حل

اصل کمینه پونتریاگین (Pontryagin's Minimum Principle) : شرایط لازم برای بهینگی را به صورت یک مسئله مقدار مرزی دو نقطه ای (BVP) ارائه می دهد. هامیلتونی (Hamiltonian) به صورت زیر تعریف می شود:

\[ H(x, u, \lambda, t) = L(x, u, t) + \lambda^T f(x, u, t) \]

سپس شرایط بهینگی عبارتند از:

\[ \dot{x} = \frac{\partial H}{\partial \lambda}, \quad \dot{\lambda} = -\frac{\partial H}{\partial x}, \quad u^* = \arg \min_u H \]

برنامه ریزی پویا (Dynamic Programming) و معادله همیلتون-ژاکوبی-بلمن (HJB): یک شرط کافی برای بهینگی است که منجر به یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی (PDE) می شود.

روش های عددی: مانند روش شوتینگ (Shooting Method)، تابعی سازی (Collocation)، و روش های مستقیم (تبدیل به NLP).

💼 کاربردهای عملی

هوافضا: طراحی مسیر بهینه برای موشک ها و فضاپیماها (مانند فرود نرم روی ماه).

رباتیک: حرکت بهینه ربات ها با کمترین مصرف انرژی.

اقتصاد: مدل های رشد بهینه (Ramsey model).

مهندسی شیمی: کنترل بهینه راکتورها و فرآیندهای شیمیایی.

پزشکی: تعیین دوز بهینه دارو در طول زمان.

📝 مثال ساده: کنترل بهینه یک خودرو

فرض کنید یک خودرو روی خط راست حرکت می کند. می خواهیم با کنترل شتاب (

\[ u(t) \]

) خودرو را در زمان

\[ T \]

از نقطه

\[ x=0 \]

با سرعت

\[ v=0 \]

به نقطه

\[ x=d \]

با سرعت نهایی صفر برسانیم، در حالی که مصرف سوخت (که با

\[ u^2 \]

متناسب است) کمینه شود. مسئله:

\[ \min \int_0^T \frac{1}{2} u(t)^2 dt \] \[ \dot{x} = v, \quad \dot{v} = u \] \[ x(0)=0, v(0)=0, x(T)=d, v(T)=0 \]

حل با اصل پونتریاگین منجر به کنترل خطی

\[ u(t) = a t + b \]

و مسیری سهموی می شود.