برنامه ریزی تصادفی (Stochastic Programming)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های بهینه سازی (Optimization Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
برنامه ریزی تصادفی (Stochastic Programming) :
📌 معرفی
برنامه ریزی تصادفی (SP) چارچوبی برای بهینه سازی در شرایط عدم قطعیت است. در این روش، برخی از پارامترهای مسئله (مانند تقاضا، قیمت، یا بازده) تصادفی در نظر گرفته می شوند و توزیع احتمال آنها معلوم است. هدف یافتن تصمیماتی است که در سناریوهای مختلف احتمالی عملکرد خوبی داشته باشند.
🎲 رویکردهای اصلی
SP دو مرحله ای (Two-Stage SP): تصمیمات به دو دسته تقسیم می شوند: تصمیمات "اینجا و اکنون" (قبل از مشاهده تحقق متغیر تصادفی) و تصمیمات "انتظار و مشاهده" (پس از آن). مثال: تصمیم گیری در مورد ظرفیت تولید قبل از دانستن تقاضا.
SP چندمرحله ای (Multi-Stage SP): تعمیم به چندین دوره زمانی با آشکار شدن تدریجی اطلاعات.
روش سناریو (Scenario-based): عدم قطعیت با مجموعه ای از سناریوها و احتمالات آنها مدل می شود.
📊 مثال: برنامه ریزی خطی با قیود احتمالی
یک برنامه خطی تصادفی با قید شانسی (Chance Constraint) به صورت زیر است:
\[ \text{Minimize} \quad c^T x \] \[ \text{Subject to:} \quad P(a_i^T x \leq b_i) \geq p, \quad i = 1, \ldots, m \]در اینجا
\[ a_i \]متغیر تصادفی با میانگین
\[ \bar{a}_i \]و ماتریس کوواریانس
\[ \Sigma_i \]است. اگر
\[ p \geq 0.5 \]باشد، این مسئله معادل یک SOCP خواهد بود:
\[ \bar{a}_i^T x + \Phi^{-1}(p) \| \Sigma_i^{1/2} x \|_2 \leq b_i \]که
\[ \Phi^{-1} \]تابع توزیع تجمعی معکوس نرمال استاندارد است.
💼 کاربردها
مدیریت مالی: بهینه سازی پرتفوی با بازده تصادفی.
مدیریت انرژی: برنامه ریزی تولید برق با تقاضا و قیمت های تصادفی.
زنجیره تامین: طراحی شبکه توزیع با تقاضای نامشخص.
حمل و نقل: زمان بندی با زمان های سفر تصادفی.
⚖️ مقایسه با بهینه سازی مقاوم (Robust Optimization)
در بهینه سازی تصادفی، توزیع احتمال معلوم است و هدف بهینه سازی مقدار مورد انتظار یا رعایت قیود با احتمال مشخص است. در بهینه سازی مقاوم، عدم قطعیت به صورت مجموعه ای (بدون توزیع احتمال) مدل می شود و هدف یافتن جوابی است که در بدترین حالت (Worst-case) نیز شدنی باشد. رویکرد ترکیبی به نام بهینه سازی توزیعی مقاوم (Distributionally Robust Optimization) نیز وجود دارد که بین این دو قرار می گیرد.
