بهینه سازی هندسی (Geometric Programming - GP)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های بهینه سازی (Optimization Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
بهینه سازی هندسی (Geometric Programming - GP) :
📌 تعریف و اجزای اصلی
بهینه سازی هندسی (GP) یک کلاس خاص از مسائل بهینه سازی غیرخطی است که ساختار جبری مشخصی دارد. دو عنصر اصلی در GP وجود دارد: مونومیال ها (Monomials) و پوزینومیال ها (Posynomials).
🔹 مونومیال (Monomial)
مونومیال تابعی به شکل زیر است:
\[ f(x) = c x_1^{a_1} x_2^{a_2} \cdots x_n^{a_n} \]که در آن
\[ c > 0 \]یک ثابت مثبت و
\[ a_i \]اعداد حقیقی دلخواه هستند. متغیرها
\[ x_i \]باید مثبت باشند. مثال ها:
\[ 7x \],
\[ 4xy^2z \],
\[ \frac{2x}{y^2z^{0.3}} \],
\[ \sqrt{2xy} \].
🔸 پوزینومیال (Posynomial)
پوزینومیال مجموع چند مونومیال است :
\[ g(x) = \sum_{k=1}^K c_k x_1^{a_{1k}} x_2^{a_{2k}} \cdots x_n^{a_{nk}} \]مثال ها:
\[ x^2 + 2xy + 1 \],
\[ 7xy + 0.4(yz)^{-1/3} \],
\[ 0.56 + \frac{x^{0.7}}{yz} \].
📐 فرم استاندارد GP
یک مسئله GP به فرم استاندارد به صورت زیر نوشته می شود :
\[ \begin{array}{ll} \text{Minimize} & g_0(x) \\ \text{Subject to:} & f_i(x) = 1, \quad i = 1, \ldots, m \\ & g_j(x) \leq 1, \quad j = 1, \ldots, n \end{array} \]در اینجا
\[ g_0 \]و
\[ g_j \]پوزینومیال و
\[ f_i \]مونومیال هستند. همه متغیرها
\[ x_i \]باید مثبت باشند.
✨ ویژگی های منحصربه فرد GP
سرعت حل بالا: برخلاف بسیاری از مسائل غیرخطی، GPs بزرگ را می توان بسیار سریع حل کرد.
بهینگی سراسری: اگر جواب بهینه وجود داشته باشد، آن جواب به طور سراسری بهینه است.
بدون نیاز به حدس اولیه: حل کننده های GP به تنظیم پارامتر یا حدس اولیه نیاز ندارند.
تبدیل به مسئله محدب: با انجام یک تبدیل لگاریتمی، هر GP به یک مسئله محدب تبدیل می شود.
🔬 برنامه ریزی سیگنومومیال (Signomial Programming)
اگر در یک پوزینومیال، ضرایب بتوانند منفی باشند، به آن سیگنومومیال (Signomial) می گویند. مسائل با قیود سیگنومومیال را نمی توان به سرعت GP حل کرد و بهینه سازی سراسری آنها تضمین نشده است، اما همچنان از ساختار GP بهره می برند و سریع تر از مسائل غیرخطی عمومی حل می شوند.
💼 کاربردها
طراحی مهندسی: طراحی بهینه هواپیما، مدارها، و سازه ها.
ارتباطات: تخصیص توان و طراحی شبکه.
اقتصاد: مدل های تولید و هزینه.
بیولوژی: مدل سازی سیستم های بیولوژیکی.
