نظریه دوگانی (Duality Theory)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های بهینه سازی (Optimization Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
نظریه دوگانی (Duality Theory) :
📌 مفهوم دوگان
نظریه دوگانی (Duality Theory) یکی از زیباترین و مهم ترین مفاهیم در برنامه ریزی خطی است. بر اساس این نظریه، هر مسئله برنامه ریزی خطی (که مسئله اصلی یا Primal نامیده می شود) یک مسئله متناظر به نام مسئله دوگان (Dual Problem) دارد. این دو مسئله ارتباط نزدیکی با هم دارند و حل یکی می تواند اطلاعاتی درباره دیگری بدهد.
🔄 روابط تبدیل به دوگان
برای یک مسئله اصلی به فرم استاندارد زیر:
\[ \text{Maximize} \quad Z = c^T x \] \[ \text{Subject to:} \quad Ax \leq b, \quad x \geq 0 \]مسئله دوگان به صورت زیر خواهد بود:
\[ \text{Minimize} \quad W = b^T y \] \[ \text{Subject to:} \quad A^T y \geq c, \quad y \geq 0 \]در اینجا
\[ y \]متغیرهای دوگان هستند.
🔑 قضایای مهم دوگان
قضیه ضعیف دوگان (Weak Duality): برای هر جواب شدنی اصلی x و هر جواب شدنی دوگان y، داریم
\[ c^T x \leq b^T y \](در مسائل بیشینه سازی).
قضیه قوی دوگان (Strong Duality): اگر یکی از مسائل (اصلی یا دوگان) جواب بهینه داشته باشد، دیگری نیز جواب بهینه دارد و مقادیر بهینه برابرند:
\[ Z^* = W^* \].
قضیه شکاف مکمل (Complementary Slackness): در بهینگی، حاصلضرب هر متغیر اصلی در قید دوگان متناظر (به صورت slack) صفر است و بالعکس.
💡 کاربردهای دوگان
تفسیر اقتصادی: متغیرهای دوگان نشان دهنده ارزش منابع (قیمت سایه ای) هستند.
حل مسائل: گاهی حل مسئله دوگان آسان تر از مسئله اصلی است.
تحلیل حساسیت: اطلاعات دوگان برای تحلیل حساسیت استفاده می شود.
بررسی بهینگی: می توان از شرایط شکاف مکمل برای بررسی بهینگی یک جواب استفاده کرد.
