روش M بزرگ (Big-M Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های بهینه سازی (Optimization Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش M بزرگ (Big-M Method) :
📌 معرفی
روش M بزرگ (Big-M Method) یکی از روش های حل مسائل برنامه ریزی خطی با قیود از نوع
\[ = \]یا
\[ \geq \]است. در این روش، به هر متغیر مصنوعی یک ضریب جریمه بسیار بزرگ (که با M نمایش داده می شود) در تابع هدف اختصاص داده می شود. در مسائل کمینه سازی، ضریب
\[ +M \]و در بیشینه سازی، ضریب
\[ -M \]است.
🔧 مراحل اجرا
تبدیل همه قیود به معادله با اضافه کردن متغیرهای کمکی (Slack) و مازاد (Surplus).
برای قیودی که ماتریس همانی ندارند، متغیر مصنوعی اضافه کن.
تابع هدف را با اضافه کردن جملات جریمه برای متغیرهای مصنوعی اصلاح کن.
جدول سیمپلکس اولیه را تشکیل بده (متغیرهای مصنوعی در پایه اولیه هستند).
الگوریتم سیمپلکس را اجرا کن تا همه متغیرهای مصنوعی از پایه خارج شوند و شرط بهینگی برقرار شود.
اگر در پایان، یک متغیر مصنوعی در پایه با مقدار مثبت باقی بماند، مسئله غیرموجه است.
📝 مثال عددی
مسئله زیر را در نظر بگیرید:
\[ \text{Minimize} \quad Z = 4x_1 + x_2 \] \[ \text{Subject to:} \quad 3x_1 + x_2 = 3 \] \[ \quad 4x_1 + 3x_2 \geq 6 \] \[ \quad x_1 + 2x_2 \leq 4 \] \[ \quad x_1, x_2 \geq 0 \]پس از اضافه کردن متغیرهای مصنوعی و کمکی، تابع هدف به صورت زیر در می آید (M یک عدد بسیار بزرگ مثبت است):
\[ \text{Minimize} \quad Z = 4x_1 + x_2 + MA_1 + MA_2 \]سپس با روش سیمپلکس حل می شود.
⚠️ نکته: انتخاب مقدار M بسیار مهم است. اگر M خیلی کوچک باشد، ممکن است متغیر مصنوعی به طور کامل حذف نشود. اگر خیلی بزرگ باشد، خطاهای عددی ایجاد می کند.
