روش های نقطه درونی (Interior-Point Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های بهینه سازی (Optimization Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش های نقطه درونی (Interior-Point Methods) :
📌 معرفی
روش های نقطه درونی (Interior-Point Methods) دسته ای از الگوریتم ها برای حل مسائل بهینه سازی خطی و غیرخطی هستند که برخلاف روش سیمپلکس که روی مرز ناحیه موجه حرکت می کند، از داخل ناحیه موجه (Interior) به سمت جواب بهینه حرکت می کنند. این روش ها در دهه ۱۹۸۰ توسط کارمارکار (Karmarkar) معرفی شدند و برای مسائل بزرگ مقیاس بسیار کارآمد هستند.
🧠 ایده اصلی
ایده اصلی روش های نقطه درونی استفاده از توابع مانع (Barrier Functions) است. به این صورت که با اضافه کردن یک جمله لگاریتمی به تابع هدف، از نزدیک شدن به مرز ناحیه موجه جلوگیری می شود. با کاهش تدریجی پارامتر مانع، مسیر نقاط داخلی به سمت جواب بهینه مرزی هدایت می شود.
\[ \text{Minimize} \quad f(x) - \mu \sum_{i=1}^m \ln(s_i) \] \[ \text{Subject to:} \quad Ax + s = b, \quad s \geq 0 \]در اینجا
\[ \mu > 0 \]پارامتر مانع است که به تدریج به سمت صفر میل می کند.
🔬 انواع روش های نقطه درونی
روش های مانع لگاریتمی (Logarithmic Barrier Methods)
روش های مسیر-مرکزی (Path-Following Methods)
روش های پیش بین-تصحیح (Predictor-Corrector Methods) مانند روش مهروترا (Mehrotra)
روش های مقیاس بندی آفین (Affine Scaling Methods)
