تجزیه و تحلیل خطا (Error Analysis Techniques)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
تجزیه و تحلیل خطا (Error Analysis Techniques) :
بررسی منابع خطا و نحوه انتشار آنها در محاسبات عددی
توضیح ساده: تجزیه و تحلیل خطا یکی از مهم ترین بخش های آنالیز عددی است که به شناسایی، اندازه گیری و کنترل خطاهای ایجاد شده در محاسبات عددی می پردازد. این خطاها می توانند از منابع مختلفی ناشی شوند: خطای مدل سازی (Modeling Error)، خطای داده های ورودی (Input Error)، خطای برش (Truncation Error) ناشی از تقریب توابع با سری های متناهی، و خطای گرد کردن (Rounding Error) ناشی از نمایش محدود اعداد در کامپیوتر. تحلیل خطا به ما کمک می کند تا دقت نتایج را تخمین بزنیم و روش های عددی پایدارتری طراحی کنیم.
شرح گام به گام: انواع خطا و مفاهیم کلیدی:
۱. خطای مطلق (Absolute Error): |x_تقریبی - x_دقیق|
۲. خطای نسبی (Relative Error): |x_تقریبی - x_دقیق| / |x_دقیق| (مهم تر)
۳. خطای برش (Truncation Error): ناشی از قطع سری های نامتناهی (مثل سری تیلور). مثال:
\[ e^x = 1 + x + x²/2 + ... \]با قطع بعد از n جمله.
۴. خطای گرد کردن (Rounding Error): ناشی از نمایش ممیز شناور (Floating-point). اعداد مانند ۱/۳ به صورت تقریبی ذخیره می شوند.
۵. تحلیل خطای پیشرو (Forward Error): خطا در خروجی نهایی.
۶. تحلیل خطای پسرو (Backward Error): تغییر لازم در ورودی برای بدست آوردن خروجی دقیق.
۷. عدد شرطی (Condition Number): معیاری برای حساسیت مسئله به تغییرات ورودی. اگر عدد شرطی بزرگ باشد، مسئله بدحالت (Ill-conditioned) است.
۸. پایداری (Stability): الگوریتمی پایدار است که خطاهای کوچک را به طور نامعقولی بزرگ نکند.
مثال عددی: حل دستگاه ۲x + ۶y = ۸, ۲x + ۶.۰۰۱y = ۸.۰۰۱. جواب دقیق x=1, y=1 است. اگر ورودی با خطای کوچک ۸.۰۰۲ شود، جواب به شدت تغییر می کند (x≈0, y≈1.33). این نشان دهنده بدحالت بودن دستگاه (عدد شرطی بزرگ) است.
مزایا: امکان ارزیابی دقت و اعتماد به نتایج، طراحی الگوریتم های پایدار.
معایب: تحلیل دقیق برای الگوریتم های پیچیده دشوار است. گاهی باید به تخمین های تجربی اکتفا کرد.
کاربردها: در همه زمینه های آنالیز عددی، در طراحی نرم افزارهای علمی، در تأیید نتایج شبیه سازی.
نکته: جیمز ویلکینسون، برنده جایزه تورینگ، کارهای بنیادی در تحلیل خطای پسرو انجام داد.
