تبدیل فوریه گسسته (Discrete Fourier Transform - DFT)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
تبدیل فوریه گسسته (Discrete Fourier Transform - DFT) :
\[ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i2\pi k n / N} \]توضیح ساده: تبدیل فوریه گسسته (DFT) یک ابزار ریاضی برای تبدیل یک دنباله از اعداد (در حوزه زمان یا مکان) به یک دنباله از اعداد مختلط (در حوزه فرکانس) است. DFT نشان می دهد که هر سیگنال گسسته را می توان به صورت مجموعی از موج های سینوسی و کسینوسی با فرکانس ها و دامنه های مختلف نمایش داد. این تبدیل پایه ای برای تحلیل طیفی و پردازش سیگنال دیجیتال است. DFT به صورت مستقیم از مرتبه O(n²) است، اما در عمل با FFT محاسبه می شود.
شرح گام به گام: برای یک دنباله x₀,...,x_{N-1} (که می توانند مختلط باشند)، DFT به صورت زیر تعریف می شود:
\[ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n \omega^{kn}, \quad \omega = e^{-2\pi i / N} \]که k از ۰ تا N-۱ است. X_k نشان دهنده دامنه و فاز مولفه فرکانسی k/N (بر حسب نرخ نمونه برداری) است.
تبدیل فوریه معکوس (IDFT):
\[ x_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k \omega^{-kn} \]خواص مهم DFT:
- خطی بودن
- قضیه هم گشت (Convolution Theorem)
- قضیه پارسوال (پایستگی انرژی)
- انتقال (Shift) در زمان معادل ضرب در فاز در فرکانس است.
مثال عددی: برای سیگنال x = [1, 2, 3, 4] با N=4، ω = e^{-iπ/2} = -i. محاسبه X₀ = 1+2+3+4=10. X₁ = 1 + 2(-i) + 3(-i)² + 4(-i)³ = 1 -2i -3 +4i = -2 +2i. X₂ = 1 + 2(-1) + 3(1) + 4(-1) = 1-2+3-4=-2. X₃ = 1 + 2(i) + 3(-1) + 4(-i) = 1+2i-3-4i = -2 -2i. این نشان می دهد که سیگنال اصلی چه مؤلفه های فرکانسی دارد.
مزایا: پایه ای برای تحلیل فرکانسی، قضایای ریاضی زیبا و مفید، فهم عمیق از سیگنال ها.
معایب: محاسبه مستقیم O(n²) برای nهای بزرگ غیرعملی است (مشکل با FFT حل می شود).
کاربردها: در پردازش سیگنال، در تحلیل سری های زمانی، در مخابرات، در آکوستیک، در ژئوفیزیک.
نکته: DFT فرض می کند که سیگنال دوره ای است و در خارج از بازه تعریف شده تکرار می شود.
