روش تسریع همگرایی ایتکن (Aitken's Delta-Squared Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تسریع همگرایی ایتکن (Aitken's Delta-Squared Method) :
\[ \hat{p}_n = p_n - \frac{(p_{n+1} - p_n)^2}{p_{n+2} - 2p_{n+1} + p_n} \]توضیح ساده: روش ایتکن (Aitken's Δ²) یک تکنیک برای تسریع همگرایی دنباله هایی است که به صورت خطی همگرا می شوند. این روش با استفاده از سه جمله متوالی از دنباله، تخمینی از حد دنباله به دست می دهد که همگرایی سریع تری دارد. این روش توسط الکساندر ایتکن در سال ۱۹۲۶ معرفی شد و یکی از ساده ترین و مؤثرترین روش های تسریع همگرایی است. این روش برای دنباله های حاصل از روش های تکراری مانند روش تکرار نقطه ای (Fixed Point Iteration) بسیار مفید است.
شرح گام به گام: فرض کنید دنباله {p_n} به صورت خطی به حد P همگرا می شود (یعنی p_{n+1} - P ≈ λ (p_n - P) با |λ|<1). فرمول ایتکن برای تخمین بهتر P به صورت زیر است:
\[ \hat{p}_n = p_n - \frac{(p_{n+1} - p_n)^2}{p_{n+2} - 2p_{n+1} + p_n} \]که مخرج همان تفاضل مرتبه دوم Δ²p_n است. این تخمین معمولا به P نزدیک تر از p_{n+2} است. این روش را می توان به صورت تکراری نیز اعمال کرد (روش ایتکن تکراری).
مثال عددی: دنباله حاصل از روش تکرار نقطه ای برای معادله x = cos(x). با x₀=0: x₁=1, x₂=0.5403, x₃=0.8576, x₄=0.6543, x₅=0.7935, ... حد حدود 0.739 است. با اعمال فرمول ایتکن روی x₁,x₂,x₃: عدد = 0.5403 - ((0.8576-0.5403)²)/(0.6543 - 2*0.8576 + 0.5403) = 0.5403 - (0.3173²)/(0.6543 - 1.7152 + 0.5403) = 0.5403 - (0.1007)/(-0.5206) = 0.5403 + 0.1935 = 0.7338 که به حد نزدیک تر است.
مزایا: ساده، نیاز به محاسبات کم، می تواند همگرایی را به طور چشمگیری تسریع کند.
معایب: فقط برای دنباله های با همگرایی خطی مؤثر است. ممکن است در صورت وجود نوسان یا خطاهای عددی مشکل ایجاد کند.
کاربردها: در روش های تکراری حل معادلات، در برون یابی ریچاردسون، در تسریع همگرایی سری ها.
نکته: این روش معادل اعمال تعمیم برون یابی ریچاردسون برای دنباله ها است.
