روش همبستگی (Correlation Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش همبستگی (Correlation Methods) :
اندازه گیری شباهت بین دو سیگنال یا تابع
توضیح ساده: روش های همبستگی (Correlation) تکنیک های عددی برای محاسبه همبستگی بین دو سیگنال یا تابع هستند. همبستگی نشان دهنده میزان شباهت دو تابع به عنوان تابعی از جابجایی (Shift) بین آنهاست. دو نوع اصلی همبستگی وجود دارد: همبستگی متقابل (Cross-correlation) برای دو تابع متفاوت، و خودهمبستگی (Autocorrelation) برای یک تابع با خودش. این مفاهیم در پردازش سیگنال، تشخیص الگو، آمار و اقتصادسنجی کاربرد فراوان دارند. محاسبات همبستگی مشابه هم گشت است و می توان آن را با روش مستقیم یا با FFT انجام داد.
شرح گام به گام: برای دو تابع گسسته f و g، همبستگی متقابل به صورت زیر تعریف می شود:
\[ (f \star g)[k] = \sum_{i=-\infty}^{\infty} f^*[i] g[i+k] \](برای سیگنال های حقیقی، * به معنای مزدوج مختلط است که با خودش برابر است).
رابطه با هم گشت:
\[ (f \star g)[k] = f^*[-k] * g[k] \]روش مستقیم مشابه هم گشت است با هزینه O(n²).
روش مبتنی بر FFT:
۱. FFT f و g را محاسبه کنید (با padding).
۲. برای همبستگی متقابل: H = conj(F) * G (مزدوج F ضرب در G).
۳. IFFT(H) را محاسبه کنید.
۴. نتیجه همان همبستگی است (ممکن است نیاز به جابجایی داشته باشد).
این روش O(n log n) است.
در آمار، ضریب همبستگی پیرسون برای اندازه گیری رابطه خطی بین دو متغیر استفاده می شود:
\[ \rho_{X,Y} = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X \sigma_Y} \]مثال عددی: در پردازش سیگنال، برای یافتن زمان تأخیر (Time Delay) بین دو سیگنال (مثلا دو میکروفون)، همبستگی متقابل محاسبه می شود. مکانی که همبستگی بیشینه است، تأخیر زمانی را نشان می دهد.
مزایا: تشخیص شباهت و تأخیر، کاربرد گسترده، قابل محاسبه سریع با FFT.
معایب: حساس به نویز، ممکن است قله های کاذب ایجاد کند.
کاربردها: در پردازش سیگنال (تشخیص الگو)، در آمار (تحلیل رابطه بین متغیرها)، در اقتصادسنجی، در ژئوفیزیک.
نکته: همبستگی متقابل نرمالایز شده اغلب برای تطبیق الگو (Template Matching) استفاده می شود.
