روش فون نویمان (Von Neumann Algorithm for Random Numbers)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش فون نویمان (Von Neumann Algorithm for Random Numbers) :
روش نمونه گیری از توزیع های دلخواه با استفاده از توزیع یکنواخت
توضیح ساده: روش فون نویمان (که به روش پذیرش-رد نیز معروف است) یک الگوریتم برای تولید اعداد تصادفی از یک توزیع احتمال دلخواه با استفاده از اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت و یک توزیع کمکی (Proposal) است. این روش توسط جان فون نویمان در دهه ۱۹۴۰ ابداع شد. ایده این است که نقاطی را به صورت یکنواخت زیر منحنی تابع چگالی احتمال هدف تولید کنیم و نقاط بالای منحنی را رد کنیم. این روش پایه ای برای بسیاری از روش های تولید اعداد تصادفی غیریکنواخت است.
شرح گام به گام: برای نمونه گیری از توزیع با چگالی f(x) که در بازه [a,b] تعریف شده و کران بالایی M ≥ max f(x) داریم:
۱. یک عدد تصادفی x از توزیع یکنواخت U(a,b) تولید کنید.
۲. یک عدد تصادفی y از توزیع یکنواخت U(0,M) تولید کنید.
۳. اگر y ≤ f(x)، آنگاه x را به عنوان نمونه بپذیرید.
۴. در غیر این صورت، x را رد کرده و به مرحله ۱ برگردید.
۵. این کار را تا رسیدن به تعداد نمونه مورد نیاز تکرار کنید.
راندمان روش به نسبت مساحت زیر منحنی به مساحت مستطیل بستگی دارد:
\[ P_{accept} = \frac{\int f(x) dx}{M(b-a)} \].
برای توزیع های پیچیده تر، می توان از توزیع های پوششی (Envelope Distributions) بهتر استفاده کرد.
مثال عددی: تولید اعداد تصادفی از توزیع بتا با پارامترهای خاص. اگر نتوانیم به راحتی از توزیع بتا نمونه بگیریم، روش فون نویمان با یک توزیع یکنواخت به عنوان پوشش (اگرچه ناکارآمد) می تواند استفاده شود. برای کارایی بهتر، از توزیع های پوشش مناسب تر استفاده می شود.
مزایا: ساده، دقیق (نمونه ها دقیقا از توزیع هدف پیروی می کنند)، نیاز به اطلاعات کمی از توزیع.
معایب: برای توزیع های با ابعاد بالا یا با پشتیبانی وسیع، راندمان پایین است (بسیاری از نقاط رد می شوند).
کاربردها: در شبیه سازی های مونت کارلو، در تولید اعداد تصادفی غیریکنواخت، در آمار.
نکته: این روش به عنوان "روش پذیرش-رد" (Accept-Reject) نیز شناخته می شود.
