روش مونت کارلو (Monte Carlo Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش مونت کارلو (Monte Carlo Method) :
روش های آماری برای حل مسائل قطعی و احتمالاتی با استفاده از اعداد تصادفی
توضیح ساده: روش مونت کارلو یک دسته وسیع از الگوریتم های محاسباتی است که از نمونه گیری تصادفی برای بدست آوردن نتایج عددی استفاده می کنند. این روش ها برای حل مسائلی که ممکن است قطعی باشند (مثل محاسبه انتگرال) یا ذاتا احتمالاتی (مثل فیزیک آماری) به کار می روند. ایده اصلی این است که با تولید تعداد زیادی نمونه تصادفی و مشاهده رفتار آنها، می توان ویژگی های یک سیستم پیچیده را تخمین زد. نام مونت کارلو از منطقه ای در موناکو به خاطر شباهت با قمارخانه ها (و نقش شانس در روش) گرفته شده است.
شرح گام به گام: مراحل اصلی یک شبیه سازی مونت کارلو:
۱. یک مدل احتمالاتی از مسئله بسازید. متغیرهای تصادفی و توزیع آنها را تعریف کنید.
۲. تعداد زیادی نمونه (معمولا میلیون ها) از این توزیع ها تولید کنید (با استفاده از مولدهای اعداد تصادفی).
۳. برای هر نمونه، مسئله را به صورت قطعی حل کنید (یا مقدار تابع مورد نظر را محاسبه کنید).
۴. نتایج را جمع آوری کرده و کمیت های آماری مورد نظر (میانگین، واریانس، توزیع) را محاسبه کنید.
۵. خطای تخمین معمولا با
\[ \frac{\sigma}{\sqrt{N}} \]کاهش می یابد (σ انحراف معیار، N تعداد نمونه ها).
برای انتگرال گیری، روش ساده مونت کارلو:
\[ \int_\Omega f(x) dx \approx \frac{|\Omega|}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i) \]با xᵢ نمونه های یکنواخت.
مثال عددی: محاسبه عدد π با روش مونت کارلو. در یک مربع به ضلع ۲ (محیط دایره ای به شعاع ۱)، نقاط تصادفی (x,y) در بازه [-1,1] تولید کنید. نسبت نقاط داخل دایره (x²+y² ≤ 1) به کل نقاط، تقریبی از π/4 است. با ۱۰ میلیون نقطه، π ≈ 3.1416 با خطای کوچک بدست می آید.
مزایا: نرخ همگرایی مستقل از بعد مسئله است (برای ابعاد بالا تنها روش عملی است). ساده و قابل فهم. قابل موازی سازی.
معایب: نرخ همگرایی کند است (1/√N). برای دقت بالا به نمونه های بسیار زیادی نیاز است. نتایج احتمالی اند.
کاربردها: در فیزیک (انتگرال گیری مسیر)، در مالی (قیمت گذاری اختیار معامله)، در مهندسی (تحلیل قابلیت اطمینان)، در یادگیری ماشین (روش های بیزی).
نکته: روش مونت کارلو در پروژه منهتن برای طراحی بمب اتمی توسط فون نویمان، اولام و متروپلیس توسعه یافت.
