روش بهینه سازی محدب (Convex Optimization Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش بهینه سازی محدب (Convex Optimization Methods) :
بهینه سازی توابع محدب روی مجموعه های محدب
توضیح ساده: بهینه سازی محدب یک شاخه بسیار مهم از بهینه سازی است که در آن تابع هدف محدب (Convex) و مجموعه قیود نیز محدب هستند. ویژگی مهم مسائل محدب این است که هر نقطه کمینه محلی، کمینه سراسری نیز هست. این خاصیت باعث می شود که بتوان آنها را با روش های کارآمد و قابل اعتماد حل کرد. بسیاری از مسائل مهندسی، یادگیری ماشین، و اقتصاد را می توان به صورت مسائل محدب فرموله کرد (یا تقریب زد). روش های حل شامل روش های زیرگرادیان (Subgradient)، روش های نقاط داخلی، و روش های تجزیه هستند.
شرح گام به گام: یک مسئله بهینه سازی محدب به فرم استاندارد:
\[ \min f_0(x) \quad \text{s.t.} \quad f_i(x) \le 0, \ i=1,...,m, \quad A x = b \]که در آن f₀ و f_i توابع محدب هستند.
روش های حل:
۱. روش زیرگرادیان (Subgradient Method): تعمیم روش گرادیان کاهشی برای توابع غیرمشتق پذیر. با انتخاب زیرگرادیان به جای گرادیان و یک گام مناسب، به جواب نزدیک می شود.
۲. روش نقاط داخلی (Interior Point): با استفاده از تابع مانع (مثلا لگاریتمی) و روش نیوتن، از داخل ناحیه شدنی به سمت جواب حرکت می کند. این روش ها بسیار کارآمد هستند.
۳. روش های تجزیه (مانند روش ادغام افقی - ADMM) برای مسائل بزرگ مقیاس.
مثال عددی: مسئله رگرسیون حداقل مربعات با قید نرم ۱ (Lasso) یک مسئله محدب است. تابع هدف محدب و قید نیز محدب است. این مسئله با روش های مختلفی مانند FISTA (که یک روش گرادیان تعمیم یافته است) یا روش نقاط داخلی قابل حل است.
مزایا: تضمین یافتن جواب سراسری، روش های کارآمد و بالغ، تحلیل نظری قوی.
معایب: همه مسائل را نمی توان به صورت محدب فرموله کرد. برای مسائل بسیار بزرگ مقیاس، روش های خاصی نیاز است.
کاربردها: در یادگیری ماشین (رگرسیون، SVM)، در کنترل، در مخابرات، در طراحی مدار، در اقتصاد.
نکته: کتاب مشهور "بهینه سازی محدب" توسط بوید و وندنبرگه یک مرجع کلاسیک است.
