روش برنامه ریزی چندهدفه (Multi-objective Optimization)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش برنامه ریزی چندهدفه (Multi-objective Optimization) :
بهینه سازی همزمان چند تابع هدف متضاد
توضیح ساده: برنامه ریزی چندهدفه به مسائلی می پردازد که در آنها چند تابع هدف (اغلب متضاد) باید همزمان بهینه شوند. به عنوان مثال، در طراحی یک خودرو، ممکن است بخواهیم هم هزینه را کمینه کنیم و هم ایمنی را بیشینه کنیم. این دو هدف معمولا با هم در تضاد هستند. در این مسائل، یک جواب واحد که همه اهداف را به طور همزمان بهینه کند معمولا وجود ندارد. در عوض، مجموعه ای از جواب های بهینه پارتو (Pareto Optimal) داریم که در آنها بهبود هر هدف، باعث بدتر شدن حداقل یکی از اهداف دیگر می شود. روش های مختلفی برای حل این مسائل وجود دارد، از جمله روش های وزنی، روش قیود ε، و روش های تکاملی چندهدفه (مانند NSGA-II).
شرح گام به گام: یک مسئله چندهدفه به صورت زیر تعریف می شود:
\[ \min_{x \in \Omega} (f_1(x), f_2(x), ..., f_m(x)) \]روش وزنی (Weighted Sum):
۱. به هر هدف یک وزن wᵢ ≥ 0 اختصاص دهید (معمولا ∑ wᵢ = 1).
۲. مسئله تک هدفه زیر را حل کنید:
\[ \min \sum_{i=1}^m w_i f_i(x) \]۳. با تغییر وزن ها، می توان نقاط مختلف روی جبهه پارتو را به دست آورد.
روش قیود ε (ε-Constraint):
۱. یکی از اهداف را به عنوان هدف اصلی انتخاب کنید.
۲. برای سایر اهداف، قیود fᵢ(x) ≤ εᵢ (یا ≥) تعریف کنید.
۳. با تغییر εᵢ، نقاط پارتو را پیدا کنید.
روش های تکاملی چندهدفه (مانند NSGA-II) با استفاده از مرتب سازی غیرمسلط (Non-dominated Sorting) و حفظ تنوع، مجموعه ای از جواب های پارتو را در یک اجرا پیدا می کنند.
مثال عددی: طراحی یک تیر با دو هدف: کمینه کردن وزن (f₁) و بیشینه کردن استحکام (f₂). این دو هدف در تضاد هستند. با روش وزنی و حل برای وزن های مختلف، مجموعه ای از طرح ها به دست می آید که جبهه پارتو را تشکیل می دهند. طراح می تواند از بین این طرح ها انتخاب کند.
مزایا: مدل سازی واقعی تر مسائل دنیای واقعی که چندین هدف دارند.
معایب: یافتن جبهه پارتو به طور کامل می تواند پرهزینه باشد. تصمیم گیری نهایی بین جواب های پارتو نیاز به قضاوت انسانی دارد.
کاربردها: در طراحی مهندسی، در اقتصاد، در مدیریت منابع، در یادگیری ماشین (یادگیری چندهدفه).
نکته: جواب های پارتو به افتخار ویلفردو پارتو، اقتصاددان ایتالیایی، نامگذاری شده اند.
