روش برنامه ریزی پویا (Dynamic Programming)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش برنامه ریزی پویا (Dynamic Programming) :
حل مسائل با ساختار چندمرحله ای با تقسیم به زیرمسائل
توضیح ساده: برنامه ریزی پویا (DP) یک روش قدرتمند برای حل مسائل بهینه سازی است که می توانند به زیرمسائل هم پوشان (Overlapping) تقسیم شوند. ایده اصلی این است که مسئله را به مراحل کوچک تر تقسیم کرده و با حل هر زیرمسئله و ذخیره نتایج (Memoization)، از محاسبات تکراری جلوگیری شود. DP برای مسائلی که خاصیت بهینگی (Optimal Substructure) دارند، یعنی جواب بهینه کل از ترکیب جواب های بهینه زیرمسائل به دست می آید، بسیار مناسب است. معروف ترین مثال ها شامل کوتاه ترین مسیر، مسئله کوله پشتی، و الگوریتم های رشته ای هستند.
شرح گام به گام: مراحل کلی برنامه ریزی پویا:
۱. مسئله را به مراحل (Stages) تقسیم کنید. در هر مرحله، یک حالت (State) وجود دارد که اطلاعات لازم برای تصمیم گیری را خلاصه می کند.
۲. یک رابطه بازگشتی (معادله بلمن) بنویسید که مقدار بهینه را بر حسب حالت فعلی و تصمیم گرفته شده بیان کند:
\[ V_k(s) = \min_{a \in A(s)} \{ C(s,a) + V_{k+1}(T(s,a)) \} \]که در آن V_k(s) مقدار بهینه از مرحله k با حالت s، C(s,a) هزینه انتخاب تصمیم a، و T(s,a) حالت بعدی است.
۳. شرایط مرزی را تعیین کنید (مثلا V_{n+1}(s) = 0 برای مرحله نهایی).
۴. با یک حلقه از آخرین مرحله به اول (Backward Induction) یا از اول به آخر (Forward Induction)، مقادیر V را محاسبه کنید.
۵. با ذخیره سازی نتایج، از محاسبات تکراری جلوگیری کنید.
مثال عددی: مسئله کوتاه ترین مسیر در یک گراف. با DP (الگوریتم بلمن-فورد) می توان کوتاه ترین مسیر از یک مبدا به همه مقاصد را یافت. معادله بلمن: d(v) = min_{u→v} { d(u) + w(u,v) }.
مزایا: کارآمد برای مسائل با ساختار مناسب، تضمین یافتن جواب بهینه، ساده سازی مسائل پیچیده.
معایب: برای مسائل با فضای حالت بزرگ (Curse of Dimensionality) غیرعملی می شود. نیاز به تعریف دقیق حالت ها و مراحل دارد.
کاربردها: در کنترل بهینه، در اقتصاد، در بیوانفورماتیک (هم تراز کردن توالی ها)، در مسیریابی، در مدیریت زنجیره تامین.
نکته: ریچارد بلمن (Richard Bellman) پدر برنامه ریزی پویا است.
