روش دی اف پی (DFP - Davidon-Fletcher-Powell Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش دی اف پی (DFP - Davidon-Fletcher-Powell Method) :
اولین روش شبه-نیوتن
توضیح ساده: روش DFP (دیویدون-فلچر-پاول) اولین روش شبه-نیوتن بود که در سال ۱۹۵۹ توسط ویلیام دیویدون معرفی شد و بعدا توسط فلچر و پاول بهبود یافت. این روش یک فرمول به روزرسانی برای تقریب معکوس ماتریس هسین ارائه می دهد. اگرچه امروزه روش BFGS محبوبیت بیشتری دارد، DFP از نظر تاریخی بسیار مهم است و هنوز هم در برخی مسائل کاربرد دارد. این روش نیز همگرایی ابرخطی دارد.
شرح گام به گام: فرمول به روزرسانی DFP برای معکوس هسین (H ≈ B⁻¹):
\[ H_{k+1} = H_k + \frac{s_k s_k^T}{y_k^T s_k} - \frac{H_k y_k y_k^T H_k}{y_k^T H_k y_k} \]که در آن sₐ = xₐ₊₁ - xₐ (تغییر در x) و yₐ = gₐ₊₁ - gₐ (تغییر در گرادیان). این فرمول تضمین می کند که اگر Hₐ متقارن و مثبت معین باشد، Hₐ₊₁ نیز همین خاصیت را خواهد داشت (به شرط yₐᵀ sₐ > 0 که با جستجوی خطی مناسب تضمین می شود).
مثال عددی: برای تابع درجه دوم f(x) = ½ xᵀAx با A متقارن مثبت معین، روش DFP با جستجوی خطی دقیق، در حداکثر n تکرار به جواب می رسد (خاصیت همگرایی درجه دوم برای توابع درجه دوم). این ویژگی با روش گرادیان مزدوج مشترک است.
مزایا: از نظر تاریخی مهم، پایه ای برای روش های بعدی، مناسب برای توابع درجه دوم.
معایب: معمولا از BFGS پایدارتر نیست و در عمل BFGS ترجیح داده می شود. ممکن است در برخی مسائل دچار ناپایداری عددی شود.
کاربردها: در برخی نرم افزارهای قدیمی، در تحقیق در مورد روش های شبه-نیوتن.
نکته: DFP و BFGS دوگان (Dual) یکدیگر هستند.
