حل برای مسائل مقدار ویژه (PDE Eigenvalue Solvers)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
حل برای مسائل مقدار ویژه (PDE Eigenvalue Solvers) :
یافتن مقادیر ویژه و توابع ویژه معادلات دیفرانسیل
توضیح ساده: مسائل مقدار ویژه برای معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (مانند معادله شرودینگر، معادله موج، و معادله لاپلاس) به دنبال یافتن مقادیر ویژه (λ) و توابع ویژه (u) هستند که در آنها Lu = λu (با شرایط مرزی همگن). این مسائل در فیزیک و مهندسی بسیار مهم هستند، مانند تحلیل ارتعاشات سازه ها، مدهای تشدید، و سطوح انرژی کوانتومی. روش های عددی این مسائل شامل گسسته سازی (با FDM, FEM) و سپس حل یک مسئله مقدار ویژه ماتریسی بزرگ است.
شرح گام به گام: مراحل حل یک مسئله مقدار ویژه PDE:
۱. معادله دیفرانسیل را با یک روش عددی (مثلا تفاضلات محدود یا عناصر محدود) گسسته کنید. نتیجه یک دستگاه به فرم A u = λ B u یا A u = λ u است.
۲. اگر مسئله از نوع A u = λ u باشد، یک مسئله مقدار ویژه استاندارد داریم.
۳. اگر مسئله از نوع A u = λ B u باشد، یک مسئله مقدار ویژه تعمیم یافته (Generalized Eigenvalue Problem) داریم.
۴. برای حل مسئله مقدار ویژه ماتریسی، از روش های عددی جبر خطی استفاده می شود:
- برای مسائل کوچک تا متوسط: روش QR، روش تقسیم و غلبه.
- برای مسائل بزرگ و تنک: روش لانچوس (برای متقارن)، روش آرنولدی (برای نامتقارن)، روش های زیرفضای ژاکوبی-دیویدسون.
۵. معمولا فقط به چند مقدار ویژه اول (کوچک ترین یا بزرگ ترین) نیاز است، که با روش های تکراری قابل محاسبه هستند.
مثال عددی: ارتعاشات یک غشای دایره ای. معادله هلمهولتز ∇²u + λu = 0 با شرایط مرزی u=0 روی محیط دایره. با گسسته سازی با FEM، یک دستگاه مقدار ویژه تعمیم یافته K u = λ M u بدست می آید. با روش لانچوس، چند فرکانس اول ارتعاش (متناظر با √λ) محاسبه می شود.
مزایا: امکان محاسبه مدهای ارتعاشی و سطوح انرژی، پایه ای برای تحلیل پایداری.
معایب: هزینه محاسباتی بالا برای مسائل بزرگ، حساسیت به کیفیت گسسته سازی.
کاربردها: در تحلیل ارتعاشات سازه ها، در مکانیک کوانتومی، در آکوستیک، در الکترومغناطیس.
نکته: روش لانچوس با متعامدسازی مجدد (Reorthogonalization) برای مسائل بزرگ استفاده می شود.
