روش تجزیه حوزه (Domain Decomposition Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تجزیه حوزه (Domain Decomposition Methods) :
تقسیم دامنه حل به زیردامنه های کوچک تر و حل موازی
توضیح ساده: روش تجزیه حوزه (DDM) یک استراتژی برای حل مسائل بزرگ معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است که دامنه حل را به زیردامنه های کوچک تر تقسیم می کند. هر زیردامنه را می توان به طور مستقل (و به صورت موازی) حل کرد و سپس جواب ها را با اعمال شرایط پیوستگی در مرزهای مشترک ترکیب کرد. این روش برای شبیه سازی های بزرگ مقیاس و محاسبات موازی بسیار مناسب است و امکان استفاده از حافظه توزیع شده را فراهم می کند.
شرح گام به گام: مراحل اصلی روش تجزیه حوزه:
۱. دامنه اصلی Ω را به N زیردامنه Ω₁, Ω₂, ..., Ω_N تقسیم کنید (با همپوشانی یا بدون همپوشانی).
۲. مسئله اصلی را در هر زیردامنه با شرایط مرزی مناسب (که معمولا شامل مقادیر مرزی از زیردامنه های مجاور است) فرموله کنید.
۳. یک روش تکراری برای هماهنگ سازی بین زیردامنه ها تعریف کنید. معروف ترین روش ها:
- روش آلتس-شوارتز (Alternating Schwarz): زیردامنه ها به نوبت حل می شوند و اطلاعات مرزی به روز می شود.
- روش افزودنی شوارتز (Additive Schwarz): همه زیردامنه ها به طور موازی با شرایط مرزی از تکرار قبل حل می شوند.
- روش های با پیش شرط ساز (FETI, Balancing Domain Decomposition).
۴. تا همگرایی (یکپارچگی جواب در مرزها) تکرار کنید.
مثال عددی: شبیه سازی جریان هوا حول یک هواپیما. دامنه عظیم حول هواپیما به صدها زیردامنه تقسیم می شود. هر زیردامنه روی یک پردازنده مجزا با روش CFD حل می شود. در مرزهای مشترک، اطلاعات فشار و سرعت مبادله می گردد. این روش امکان شبیه سازی روی ابررایانه ها را فراهم می کند.
مزایا: مناسب برای محاسبات موازی، کاهش حافظه مورد نیاز، امکان استفاده از روش های مختلف در زیردامنه های مختلف.
معایب: پیچیدگی در پیاده سازی، نیاز به ارتباطات بین پردازنده ها، ممکن است همگرایی کند باشد.
کاربردها: در دینامیک سیالات محاسباتی، در مکانیک سازه ها، در ژئوفیزیک، در شبیه سازی های بزرگ مقیاس.
نکته: روش تجزیه حوزه پایه ای برای بسیاری از نرم افزارهای موازی است.
