روش چندشبکه ای (Multigrid Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش چندشبکه ای (Multigrid Methods) :
تسریع همگرایی با حل روی شبکه های با اندازه های مختلف
توضیح ساده: روش چندشبکه ای (Multigrid) یکی از سریع ترین روش های تکراری برای حل دستگاه های خطی ناشی از گسسته سازی معادلات دیفرانسیل است. ایده اصلی این است که خطاهای با فرکانس بالا در یک شبکه ریز به سرعت کاهش می یابند، اما خطاهای با فرکانس پایین (نرم) به کندی همگرا می شوند. با انتقال مسئله به شبکه های درشت تر، این خطاهای نرم به فرکانس های بالاتر تبدیل می شوند و می توان آنها را سریع تر کاهش داد. با ترکیب حل در چندین سطح شبکه، به همگرایی بسیار سریعی (معمولا O(n)) می رسیم.
شرح گام به گام: یک چرخه V (V-cycle) در روش چندشبکه ای:
۱. روی شبکه ریز، چند تکرار از یک روش هموارکننده (مثل گاوس-سایدل) انجام بده (پیش هموارسازی).
۲. باقیمانده (Residual) را به شبکه درشت تر منتقل کن (Restriction).
۳. معادله خطا را روی شبکه درشت حل کن (ممکن است این کار به صورت بازگشتی روی شبکه های درشت تر انجام شود).
۴. تصحیح را به شبکه ریز برگردان (Prolongation/Interpolation).
۵. روی شبکه ریز، چند تکرار دیگر هموارکننده انجام بده (پس هموارسازی).
انواع چرخه ها: V-cycle, W-cycle, Full Multigrid (FMG). روش چندشبکه ای می تواند برای مسائل خطی و غیرخطی (با روش هایی مانند FAS) استفاده شود.
مثال عددی: معادله پواسون روی یک شبکه ۵۱۲×۵۱۲. روش های تکراری ساده مانند گاوس-سایدل هزاران تکرار نیاز دارند. روش چندشبکه ای با ۱۰ چرخه V به خطای کمتر از 10⁻⁶ می رسد. این روش در شبیه سازی های بزرگ مقیاس ضروری است.
مزایا: همگرایی بسیار سریع (معمولا مستقل از اندازه شبکه)، کارایی بالا برای مسائل بزرگ، پایه ای برای حل کننده های پیشرفته.
معایب: پیاده سازی پیچیده (به ویژه برای شبکه های بی سازمان)، نیاز به ایجاد سلسله مراتب شبکه ها.
کاربردها: در دینامیک سیالات محاسباتی، در مدل های آب و هوا، در ژئوفیزیک، در هر جایی که معادلات بیضوی و سهموی حل می شوند.
نکته: روش چندشبکه ای توسط برانت، هاکبوش و دیگران در دهه ۱۹۷۰ توسعه یافت.
