روش گرادیان مزدوج برای PDE (انگلیسی : Conjugate Gradient for PDEs)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

روش گرادیان مزدوج برای PDE (انگلیسی : Conjugate Gradient for PDEs) :

روش تکراری برای حل دستگاه های بزرگ ناشی از گسسته سازی PDE

توضیح ساده: روش گرادیان مزدوج (CG) یک روش تکراری کارآمد برای حل دستگاه های خطی بزرگ و تنک (Sparse) است که از گسسته سازی معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (با روش هایی مانند FEM یا FDM) به دست می آیند. این روش برای ماتریس های متقارن و مثبت معین (که اغلب در مسائل بیضوی ظاهر می شوند) طراحی شده است. CG با ساختن یک مجموعه از جهت های مزدوج، در حداکثر n تکرار (n اندازه دستگاه) به جواب دقیق می رسد، اما در عمل به دلیل خطای گرد کردن و با پیش شرط سازی، زودتر همگرا می شود.

شرح گام به گام: برای حل دستگاه Ax = b با A متقارن مثبت معین:

۱. با یک حدس اولیه x₀ شروع کنید، r₀ = b - Ax₀، p₀ = r₀.

۲. برای k = ۰,۱,۲,... تا همگرایی:

   α_k = (r_kᵀ r_k) / (p_kᵀ A p_k)

   x_{k+1} = x_k + α_k p_k

   r_{k+1} = r_k - α_k A p_k

   β_{k+1} = (r_{k+1}ᵀ r_{k+1}) / (r_kᵀ r_k)

   p_{k+1} = r_{k+1} + β_{k+1} p_k

۳. برای مسائل بزرگ، پیش شرط سازی (Preconditioning) ضروری است تا همگرایی تسریع شود. مثلا با پیش شرط ساز M (نزدیک به A)، دستگاه M^{-1}Ax = M^{-1}b حل می شود.

مثال عددی: معادله لاپلاس در یک مربع با گسسته سازی تفاضلات محدود ۱۰۰×۱۰۰، یک دستگاه با ۱۰۰۰۰ مجهول و ماتریس تنک بدست می آید. روش CG با پیش شرط ساز SSOR می تواند در چند صد تکرار به جواب برسد، در حالی که روش های مستقیم مانند حذف گاوس بسیار کندتر هستند.

مزایا: مناسب برای ماتریس های بزرگ و تنک، نیاز به حافظه کم، همگرایی سریع با پیش شرط ساز مناسب.

معایب: فقط برای ماتریس های متقارن مثبت معین کاربرد دارد. برای مسائل نامتقارن از روش هایی مانند GMRES یا BiCGSTAB استفاده می شود.

کاربردها: در حل دستگاه های ناشی از FEM و FDM برای معادلات بیضوی، در بهینه سازی، در یادگیری ماشین.

نکته: روش CG توسط هستینگز و استیفل در دهه ۱۹۵۰ معرفی شد و یکی از مهم ترین روش های تکراری است.