روش وردشی (Variational Techniques)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش وردشی (Variational Techniques) :
یافتن جواب با کمینه سازی یک تابعک
توضیح ساده: روش های وردشی (تغییراتی) یک چارچوب قدرتمند برای حل معادلات دیفرانسیل هستند که مسئله را به صورت یک مسئله بهینه سازی (کمینه سازی یک تابعک) فرمول بندی می کنند. این روش ها بر اساس اصول مکانیک کلاسیک (اصل همیلتون) و حساب تغییرات بنا شده اند. روش ریتز (Ritz) و روش گالرکین (که قبلا معرفی شد) از جمله روش های وردشی هستند. این روش ها پایه ای برای روش عناصر محدود (FEM) می باشند.
شرح گام به گام: برای یک مسئله خودالحاق مانند معادله پواسون -∇²u = f:
۱. یک تابعک (Functional) مرتبط با مسئله پیدا کنید که کمینه سازی آن معادل حل معادله دیفرانسیل است. برای پواسون:
\[ J(u) = \int_\Omega \left( \frac{1}{2} |\nabla u|^2 - f u \right) d\Omega \]۲. یک فضای تقریبی از توابع پایه انتخاب کنید (مثلا توابع خطی تکه ای).
۳. جواب تقریبی را به صورت u_h(x) = ∑ c_j φ_j(x) بنویسید.
۴. تابعک J را نسبت به ضرایب c_j کمینه کنید (با مشتق گیری جزئی).
۵. یک دستگاه خطی Ac = b بدست می آید که با حل آن، ضرایب بدست می آیند.
۶. این روش معادل روش گالرکین برای معادلات خودالحاق است.
مثال عددی: برای یک تیر یک سرگیردار تحت بار، انرژی پتانسیل کل تابعکی است که کمینه سازی آن معادله دیفرانسیل حاکم را می دهد. با روش ریتز و توابع پایه چندجمله ای، تغییر شکل تیر محاسبه می شود.
مزایا: پایه ریاضی قوی، ارتباط با اصول فیزیکی، پایه FEM.
معایب: نیاز به وجود یک تابعک (برای مسائل غیرخودالحاق، تابعک وجود ندارد یا پیچیده است).
کاربردها: در مکانیک جامدات، در انتقال حرارت، در الکترومغناطیس، در هر جایی که اصل کمینه سازی وجود دارد.
نکته: روش ریتز به افتخار والتر ریتز، فیزیکدان سوئیسی، نامگذاری شده است.
