روش تفاضلات محدود غیرخطی (Nonlinear Finite-Difference Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تفاضلات محدود غیرخطی (Nonlinear Finite-Difference Methods) :
گسسته سازی معادلات غیرخطی و حل با روش های تکراری
توضیح ساده: روش تفاضلات محدود غیرخطی تعمیم روش تفاضلات محدود به معادلات دیفرانسیل غیرخطی است. در این روش، مشتقات با تفاضلات محدود تقریب زده می شوند، اما معادلات جبری حاصل غیرخطی هستند. برای حل این دستگاه غیرخطی از روش های تکراری مانند نیوتن، شبه نیوتن، یا تکرار ساده استفاده می شود. این روش برای مسائلی مانند جریان های سیال با ویسکوزیته متغیر، انتقال حرارت تابشی، و واکنش-انتشار کاربرد دارد.
شرح گام به گام: برای معادله غیرخطی u_xx = f(x,u,u_x) با شرایط مرزی:
۱. ناحیه را با گام Δx گسسته کنید و مشتقات را با تفاضلات مرکزی تقریب بزنید.
۲. یک دستگاه معادلات غیرخطی به فرم F(u) = 0 بدست می آید که در آن u بردار مقادیر در نقاط شبکه است.
۳. این دستگاه را با روش نیوتن حل کنید:
\[ u^{k+1} = u^k - J(u^k)^{-1} F(u^k) \]که J ماتریس ژاکوبی F است.
۴. ماتریس ژاکوبی معمولا نواری (Band) است و می توان با روش های خطی مناسب دستگاه را حل کرد.
۵. تا همگرایی (||u^{k+1} - u^k|| کوچک) تکرار کنید.
مثال عددی: معادله برگر (Burgers' equation) یک بعدی u_t + u u_x = ν u_xx در حالت پایا: u u_x = ν u_xx. با گسسته سازی، یک دستگاه غیرخطی بدست می آید که با روش نیوتن حل می شود.
مزایا: قابل استفاده برای طیف وسیعی از معادلات غیرخطی، دقت خوب با شبکه مناسب.
معایب: نیاز به محاسبه ماتریس ژاکوبی (یا تقریب آن)، هزینه محاسباتی بالا، وابستگی به حدس اولیه.
کاربردها: در دینامیک سیالات، در انتقال حرارت غیرخطی، در معادلات میدان میانگین.
نکته: روش نیوتن برای این دستگاه ها معمولا همگرایی درجه دوم دارد.
