روش تفرق پارامتری (Parametric Differentiation Technique)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش تفرق پارامتری (Parametric Differentiation Technique) :
توضیح ساده: روش تفرق پارامتری (یا روش مشتق گیری نسبت به پارامتر) یک روش برای حل مسائل مقدار مرزی و معادلات غیرخطی است که در آن مسئله به یک پارامتر وابسته است. ایده این است که معادله را نسبت به پارامتر مشتق بگیریم و یک معادله دیفرانسیل برای مشتق جواب نسبت به پارامتر بدست آوریم. سپس با انتگرال گیری عددی روی پارامتر، جواب اصلی حاصل می شود. این روش برای مسائل با تغییرات تدریجی پارامتر مفید است.
شرح گام به گام: فرض کنید مسئله F(y, λ) = 0 وابسته به پارامتر λ است و جواب y(λ) را برای λ در [λ₀, λ₁] می خواهیم.
۱. از معادله نسبت به λ مشتق بگیرید:
\[ \frac{\partial F}{\partial y} \frac{dy}{d\lambda} + \frac{\partial F}{\partial \lambda} = 0 \]۲. یک معادله دیفرانسیل برای u = dy/dλ بدست می آید:
\[ \frac{\partial F}{\partial y} u = -\frac{\partial F}{\partial \lambda} \]۳. با شرایط اولیه معلوم در λ₀ (مثلا y(λ₀) معلوم است)، دستگاه معادلات دیفرانسیل را برای y و u به صورت همزمان حل کنید (با یک روش ODE).
۴. با انتگرال گیری از λ₀ تا λ₁، جواب y(λ) بدست می آید.
مثال عددی: در مکانیک، تغییر شکل یک تیر با بار متغیر. با افزایش تدریجی بار (پارامتر λ)، می توان تغییر شکل را با روش تفرق پارامتری محاسبه کرد. این روش شبیه روش ادامه (Continuation) است.
مزایا: مناسب برای مسائل با پارامتر متغیر، می تواند از نقاط دوشاخگی (Bifurcation) عبور کند.
معایب: نیاز به مشتق گیری تحلیلی، ممکن است برای مسائل با تغییرات ناگهانی مشکل داشته باشد.
کاربردها: در تحلیل پایداری سازه ها، در مسائل با پارامتر، در دینامیک غیرخطی.
نکته: این روش به روش های ادامه (Continuation Methods) مربوط است.
