روش شبه خطی سازی (Quasilinearization Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش شبه خطی سازی (Quasilinearization Method) :
تبدیل مسئله غیرخطی به دنباله ای از مسائل خطی
توضیح ساده: روش شبه خطی سازی (که گاهی روش نیوتن-کانتورویچ نیز نامیده می شود) یک روش تکراری برای حل معادلات دیفرانسیل غیرخطی است. ایده اصلی این است که معادله غیرخطی را حول یک حدس اولیه با بسط تیلور خطی سازی کنیم، سپس مسئله خطی حاصل را حل کنیم، و این فرآیند را تکرار کنیم تا همگرایی حاصل شود. این روش برای مسائل مقدار مرزی غیرخطی بسیار مؤثر است و همگرایی درجه دوم دارد.
شرح گام به گام: برای مسئله y'' = f(x,y,y') با شرایط مرزی:
۱. یک حدس اولیه y⁰(x) انتخاب کنید (مثلا یک خط راست بین شرایط مرزی).
۲. در تکرار k، معادله را حول y^k خطی کنید:
\[ f(x,y,y') ≈ f(x,y^k, y'^k) + f_y (y - y^k) + f_{y'} (y' - y'^k) \]۳. معادله خطی شده زیر را حل کنید:
\[ y'' - f_{y'} y' - f_y y = f(x,y^k, y'^k) - f_{y'} y'^k - f_y y^k \]۴. جواب y^{k+1} را با روشی برای معادلات خطی (مثل شوتینگ خطی) بدست آورید.
۵. تا همگرایی (||y^{k+1} - y^k|| کوچک) تکرار کنید.
مثال عددی: معادله غیرخطی y'' = e^y با شرایط y(0)=0, y(1)=0. حدس اولیه y⁰=0. معادله خطی شده: y'' = 1 + y (چون e^y≈1+y). حل مسئله خطی: y¹(x)= ?. با تکرار، به جواب همگرا می شود.
مزایا: همگرایی درجه دوم، تبدیل مسئله غیرخطی به دنباله ای از مسائل خطی که حل آنها آسان تر است.
معایب: نیاز به محاسبه مشتقات جزئی f_y و f_{y'}، وابستگی به حدس اولیه.
کاربردها: در انتقال حرارت تابشی، در واکنش های شیمیایی، در مکانیک سیالات غیرنیوتنی.
نکته: این روش معادل روش نیوتن در فضاهای تابعی است.
