روش شوتینگ غیرخطی (Nonlinear Shooting Method)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

روش شوتینگ غیرخطی (Nonlinear Shooting Method) :

توضیح ساده: روش شوتینگ غیرخطی تعمیم روش شوتینگ به معادلات غیرخطی است. در این روش، چون اصل برهم نهی خطی کار نمی کند، باید با یک روش تکراری (مانند نیوتن یا سکانت) مقدار اولیه گمشده را پیدا کنیم. این روش مشابه روش شوتینگ عمومی است، اما برای مسائل غیرخطی، تابع خطا F(s) غیرخطی خواهد بود و ممکن است چندین ریشه داشته باشد. انتخاب حدس اولیه مناسب بسیار مهم است.

شرح گام به گام: برای مسئله y'' = f(x,y,y') با شرایط y(a)=α, y(b)=β:

۱. یک حدس اولیه برای s = y'(a) انتخاب کنید (مثلا s₀).

۲. مسئله مقدار اولیه را با روش عددی مناسب (مثل RK4) حل کنید و y(b;s₀) را بدست آورید.

۳. تابع خطا F(s) = y(b;s) - β را تعریف کنید.

۴. با روش سکانت: s_{k+1} = s_k - F(s_k) * (s_k - s_{k-1})/(F(s_k) - F(s_{k-1}))

۵. با روش نیوتن: به مشتق F نسبت به s نیاز داریم که می توان آن را با حل معادله خطی شده (معادله وردشی) بدست آورد.

۶. تا رسیدن به همگرایی (|F(s)| کوچک) تکرار کنید.

مثال عددی: معادله غیرخطی y'' = 2y^3 با شرایط y(0)=0, y(1)=1 (جواب تقریبی). حدس اولیه s₀=1. حل مسئله مقدار اولیه: y(1)≈0.8، F=0.2-. حدس دوم s₁=2: y(1)≈1.6، F=0.6+. با روش سکانت، s₂ = 2 - 0.6*(2-1)/(0.6-(-0.2)) = 2 - 0.6*1/0.8 = 2 - 0.75 = 1.25. ادامه تا همگرایی.

مزایا: قابل استفاده برای معادلات غیرخطی، دقت بالا با تکرار کافی.

معایب: وابستگی شدید به حدس اولیه، ممکن است همگرا نشود یا به ریشه نادرست برود، هزینه محاسباتی بالاتر.

کاربردها: در مسائل غیرخطی مکانیک، شیمی، بیولوژی، مانند معادله پواسون-بولتزمن، معادلات لایه مرزی.

نکته: روش نیوتن برای شوتینگ غیرخطی نیاز به حل معادله وردشی (Variational Equation) دارد که هزینه را افزایش می دهد.