روش شوتینگ خطی (Linear Shooting Method)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

روش شوتینگ خطی (Linear Shooting Method) :

برای معادلات خطی، از ترکیب دو جواب استفاده می شود

توضیح ساده: روش شوتینگ خطی یک نسخه ساده تر و تحلیلی از روش شوتینگ برای معادلات دیفرانسیل خطی با شرایط مرزی است. در این روش، به جای جستجوی تکراری برای یافتن شرط اولیه مناسب، از اصل برهم نهی (Superposition) استفاده می کنیم. دو مسئله مقدار اولیه را حل می کنیم و سپس ترکیب خطی آنها را طوری تنظیم می کنیم که شرایط مرزی برآورده شود. این روش بسیار کارآمد و دقیق است.

شرح گام به گام: برای معادله خطی y'' + p(x)y' + q(x)y = r(x) با شرایط y(a)=α, y(b)=β:

۱. دو مسئله مقدار اولیه حل کنید:

   مسئله همگن: y_h'' + p y_h' + q y_h = 0 با y_h(a)=0, y_h'(a)=1

   مسئله ناهمگن: y_p'' + p y_p' + q y_p = r با y_p(a)=α, y_p'(a)=0

۲. جواب کلی به صورت y(x) = y_p(x) + C y_h(x) است.

۳. شرط مرزی در x=b را اعمال کنید: y(b) = y_p(b) + C y_h(b) = β ⇒ C = (β - y_p(b)) / y_h(b)

۴. با این C، جواب نهایی y(x) = y_p(x) + C y_h(x) بدست می آید.

مثال عددی: معادله y'' = y + 1 با شرایط y(0)=0, y(1)=e-1 (جواب دقیق y=e^x -1). p=0, q=-1, r=-1. حل مسائل مقدار اولیه با RK4: y_h با y_h(0)=0, y_h'(0)=1 → y_h(1)≈1.1752 y_p با y_p(0)=0, y_p'(0)=0 → y_p(1)≈0.7183 C = (e-1 - 0.7183)/1.1752 = (1.7183-0.7183)/1.1752 = 1/1.1752 ≈ 0.851 جواب نهایی: y(1)=0.7183 + 0.851*1.1752 = 0.7183+1=1.7183 صحیح است.

مزایا: بدون نیاز به تکرار، سریع و دقیق، ایده آل برای مسائل خطی.

معایب: فقط برای معادلات خطی کاربرد دارد.

کاربردها: در مسائل خطی انتقال حرارت، ارتعاشات، و پتانسیل.

نکته: این روش را می توان برای دستگاه معادلات خطی نیز تعمیم داد.