روش شوتینگ (Shooting Method)، در ریاضیات (Mathematics)

انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :

روش شوتینگ (Shooting Method) :

توضیح ساده: روش شوتینگ (تیراندازی) یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط مرزی (BVP) است. ایده اصلی این است که مسئله مقدار مرزی را با حدس زدن شرایط اولیه گمشده به یک مسئله مقدار اولیه تبدیل کنیم، سپس با تنظیم این حدس، به شرط مرزی دیگر برسیم. مانند تیراندازی به یک هدف: شما زاویه پرتاب (شرط اولیه) را تنظیم می کنید تا به هدف (شرط مرزی) اصابت کنید. این روش برای معادلات خطی و غیرخطی کاربرد دارد.

شرح گام به گام: برای مسئله y'' = f(x,y,y') با شرایط مرزی y(a)=α, y(b)=β:

۱. مسئله را به دو معادله مرتبه اول تبدیل کنید.

۲. یک حدس برای شرط اولیه گمشده y'(a) = s انتخاب کنید.

۳. مسئله مقدار اولیه را با این حدس از a تا b حل کنید (با روش های ODE مانند RK4).

۴. مقدار y(b) بدست آمده را با مقدار هدف β مقایسه کنید.

۵. تابع خطا F(s) = y(b;s) - β را تعریف کنید.

۶. با یک روش ریشه یابی (مثل روش سکانت یا نیوتن) مقدار s را طوری تنظیم کنید که F(s) ≈ 0 شود.

۷. پس از یافتن s مناسب، مسئله مقدار اولیه نهایی را حل کنید.

مثال عددی: معادله y'' = -y با شرایط مرزی y(0)=0, y(π/2)=1 (جواب دقیق y=sin x). حدس اولیه s = y'(0) = 0.5. حل مسئله مقدار اولیه تا π/2: y(π/2) ≈ 0.707. خطا 0.293-. با تنظیم s با روش سکانت، به s=1 می رسیم که جواب دقیق را می دهد.

مزایا: ساده، قابل فهم، استفاده از حل کننده های قوی ODE.

معایب: برای مسائل با پایداری ضعیف، ممکن است حساسیت زیادی به حدس اولیه داشته باشد. برای مسائل طولانی، خطاها ممکن است رشد کنند.

کاربردها: در مکانیک مداری (تعیین مسیر)، در انتقال حرارت (پره ها)، در مسائل مقدار مرزی.

نکته: روش شوتینگ نام خود را از analogy با تیراندازی به هدف گرفته است.