روش مک کورمک (MacCormack Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش مک کورمک (MacCormack Method) :
روش پیشگو-اصلاح کننده دو مرحله ای برای دینامیک سیالات
توضیح ساده: روش مک کورمک یک روش تفاضلات محدود صریح برای حل معادلات هذلولی (مانند معادلات اویلر در دینامیک سیالات) است که توسط رابرت مک کورمک در سال ۱۹۶۹ معرفی شد. این روش یک طرح پیشگو-اصلاح کننده (Predictor-Corrector) دو مرحله ای است که از ترکیب تفاضلات پیشرو و پسرو برای دستیابی به دقت مرتبه دوم در زمان و مکان استفاده می کند. روش مک کورمک به دلیل سادگی و کارایی در شبیه سازی جریان های با شوک محبوب شد.
شرح گام به گام: برای معادله u_t + f(u)_x = 0:
مرحله پیشگو (با تفاضل پیشرو در مکان):
\[ u_i^* = u_i^n - \frac{\Delta t}{\Delta x}(f_{i+1}^n - f_i^n) \]مرحله اصلاح کننده (با تفاضل پسرو در مکان):
\[ u_i^{n+1} = \frac{1}{2} \left[ u_i^n + u_i^* - \frac{\Delta t}{\Delta x}(f_i^* - f_{i-1}^*) \right] \]که در آن f_i^* = f(u_i^*). این روش برای سیستم معادلات اویلر و معادلات تراکم پذیر بسیار استفاده می شود. شرط پایداری CFL:
\[ \frac{|a|\Delta t}{\Delta x} \le 1 \]است.
مثال عددی: شبیه سازی جریان مافوق صوت روی یک ایرفویل. روش مک کورمک با اضافه کردن ویسکوزیته مصنوعی (Artificial Viscosity) برای پایدارسازی در ناپیوستگی ها، در سال ها یکی از روش های اصلی در CFD بود.
مزایا: صریح، ساده، دقت مرتبه دوم، قابل تعمیم به دستگاه ها.
معایب: نیاز به ویسکوزیته مصنوعی برای پایدارسازی در شوک ها، ممکن است نوسان ایجاد کند، برای شبکه های بی سازمان مناسب نیست.
کاربردها: در دینامیک سیالات محاسباتی، در آیرودینامیک، در شبیه سازی انفجار.
نکته: روش مک کورمک در سال های اولیه توسعه CFD بسیار محبوب بود.
