روش کریک-نیکلسون (Crank-Nicolson Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش کریک-نیکلسون (Crank-Nicolson Method) :
\[ \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \frac{1}{2} (F_i^{n+1} + F_i^n) \]توضیح ساده: روش کریک-نیکلسون یک روش تفاضلات محدود ضمنی (Implicit) و پایدار غیرشرطی برای معادلات سهموی (مانند معادله حرارت) است. این روش توسط جان کریک و فیلیس نیکلسون در دهه ۱۹۴۰ معرفی شد. ایده اصلی این است که مشتق زمانی را با تفاضل پیشرو و مشتقات مکانی را با میانگین مقادیر در زمان های n و n+1 تقریب بزنیم. این روش دقت مرتبه دوم در زمان و مکان دارد و بسیار محبوب است.
شرح گام به گام: برای معادله حرارت u_t = α u_xx:
طرح کریک-نیکلسون:
\[ \frac{u_i^{n+1} - u_i^n}{\Delta t} = \frac{\alpha}{2} \left( \frac{u_{i-1}^{n+1} - 2u_i^{n+1} + u_{i+1}^{n+1}}{\Delta x^2} + \frac{u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n}{\Delta x^2} \right) \]این یک طرح ضمنی است که در هر گام زمانی یک دستگاه سه قطری برای u^{n+1} ایجاد می کند:
\[ -\frac{\alpha\Delta t}{2\Delta x^2} u_{i-1}^{n+1} + (1 + \frac{\alpha\Delta t}{\Delta x^2}) u_i^{n+1} - \frac{\alpha\Delta t}{2\Delta x^2} u_{i+1}^{n+1} = u_i^n + \frac{\alpha\Delta t}{2\Delta x^2}(u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n) \]این دستگاه را می توان با روش توماس (برای ماتریس های سه قطری) به راحتی حل کرد. روش پایدار غیرشرطی است (برای هر Δt پایدار است).
مثال عددی: معادله حرارت با α=1، L=1، شرایط اولیه u(x,0)=sin(πx). با Δx=0.1، Δt=0.1. روش صریح با این Δt ناپایدار است، اما کریک-نیکلسون پایدار است و دقت خوبی دارد.
مزایا: پایدار غیرشرطی، دقت مرتبه دوم، دستگاه سه قطری با حل آسان.
معایب: ضمنی (نیاز به حل دستگاه در هر گام)، ممکن است برای مسائل غیرخطی نیاز به تکرار داشته باشد.
کاربردها: استاندارد در حل معادله حرارت، در انتقال حرارت، در نفوذ، در معادله شرودینگر.
نکته: روش کریک-نیکلسون به عنوان یکی از مهم ترین روش های عددی در فیزیک و مهندسی شناخته می شود.
