روش لاکس-وندروف (Lax-Wendroff Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش لاکس-وندروف (Lax-Wendroff Method) :
\[ u_i^{n+1} = u_i^n - \frac{a\Delta t}{2\Delta x}(u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) + \frac{a^2\Delta t^2}{2\Delta x^2}(u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n) \]توضیح ساده: روش لاکس-وندروف یک روش تفاضلات محدود مرتبه دوم برای معادلات هذلولی است که توسط پیتر لاکس و برتون وندروف در دهه ۱۹۶۰ معرفی شد. این روش با استفاده از بسط تیلور تا مرتبه دوم در زمان و جایگزینی مشتقات زمانی با مشتقات مکانی از معادله اصلی، به دقت بالاتری نسبت به روش لاکس-فردریش می رسد. روش لاکس-وندروف پخش عددی کمتری دارد، اما ممکن است در نزدیکی ناپیوستگی ها نوسان ایجاد کند.
شرح گام به گام: برای معادله انتقال u_t + a u_x = 0:
از بسط تیلور:
\[ u(x,t+\Delta t) = u(x,t) + \Delta t u_t + \frac{\Delta t^2}{2} u_{tt} + ... \]از معادله اصلی: u_t = -a u_x و u_{tt} = a^2 u_{xx}
با جایگذاری و استفاده از تفاضلات مرکزی برای u_x و u_xx، طرح لاکس-وندروف به دست می آید:
\[ u_i^{n+1} = u_i^n - \frac{a\Delta t}{2\Delta x}(u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) + \frac{a^2\Delta t^2}{2\Delta x^2}(u_{i-1}^n - 2u_i^n + u_{i+1}^n) \]شرط پایداری CFL:
\[ |a|\Delta t / \Delta x \le 1 \]است. خطای این روش O(Δt², Δx²) است.
مثال عددی: معادله انتقال با پالس مربعی. روش لاکس-وندروف پالس را بهتر از لاکس-فردریش حفظ می کند، اما در لبه های پالس نوسانات (Overshoot) ایجاد می کند (پدیده گیبس). برای رفع این مشکل، از روش های محدودکننده شار (Flux Limiters) استفاده می شود.
مزایا: دقت مرتبه دوم، پخش عددی کمتر، پایه ای برای روش های پیشرفته تر.
معایب: ایجاد نوسان در ناپیوستگی ها، نیاز به محاسبه مشتقات دوم.
کاربردها: در دینامیک سیالات برای جریان های با تغییرات ملایم، در آکوستیک خطی، در الکترومغناطیس.
نکته: روش لاکس-وندروف یکی از اولین روش های مرتبه دوم برای معادلات هذلولی بود.
