روش لاکس (Lax Scheme / Lax-Friedrichs Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش لاکس (Lax Scheme / Lax-Friedrichs Method) :
\[ u_i^{n+1} = \frac{1}{2}(u_{i-1}^n + u_{i+1}^n) - \frac{a\Delta t}{2\Delta x}(u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) \]توضیح ساده: روش لاکس-فردریش (یا به اختصار روش لاکس) یک روش تفاضلات محدود برای حل معادلات هذلولی (مانند معادله انتقال) است. این روش در دهه ۱۹۵۰ توسط پیتر لاکس معرفی شد و یکی از اولین روش های پایدار برای معادلات هذلولی بود. ایده اصلی این است که در طرح FTCS (که ناپایدار است)، مقدار u_i^n را با میانگین دو همسایه جایگزین کنیم تا پایداری به دست آید. این روش ساده است اما پخش عددی (Diffusion) بالایی دارد.
شرح گام به گام: برای معادله انتقال u_t + a u_x = 0 (با a ثابت):
طرح لاکس-فردریش:
\[ u_i^{n+1} = \frac{1}{2}(u_{i-1}^n + u_{i+1}^n) - \frac{a\Delta t}{2\Delta x}(u_{i+1}^n - u_{i-1}^n) \]این طرح از ترکیب میانگین گیری مکانی و تفاضل مرکزی به دست آمده است. تحلیل پایداری ون نیومن (von Neumann) نشان می دهد که شرط پایداری CFL:
\[ |a|\Delta t / \Delta x \le 1 \]است. خطای این طرح از مرتبه O(Δx, Δt) است و دارای پخش عددی (Viscosity) است که باعث هموار شدن شوک ها می شود.
مثال عددی: معادله انتقال u_t + u_x = 0 با شرایط اولیه یک پالس مربعی. با روش لاکس-فردریش، پس از چند گام زمانی، پالس به شدت هموار و پهن می شود (پخش عددی). این روش برای مسائل با شوک مناسب نیست، اما برای یادگیری مفاهیم پایداری مفید است.
مزایا: ساده، پایدار تحت شرط CFL، از نظر تاریخی مهم.
معایب: پخش عددی بالا (Dissipation)، دقت پایین (مرتبه اول)، جزئیات ریز را از بین می برد.
کاربردها: در آموزش، به عنوان پایه ای برای روش های پیشرفته تر، در برخی مسائل ساده.
نکته: این روش به افتخار پیتر لاکس، ریاضیدان مجارستانی-آمریکایی، نامگذاری شده است.
