روش شبکه بندی تطبیقی (Adaptive Mesh Refinement - AMR)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش شبکه بندی تطبیقی (Adaptive Mesh Refinement - AMR) :
تنظیم خودکار اندازه شبکه بر اساس نیازهای حل
توضیح ساده: روش شبکه بندی تطبیقی (AMR) یک استراتژی برای بهینه سازی شبکه محاسباتی در حین حل یک مسئله عددی است. در این روش، شبکه در جاهایی که جواب تغییرات سریع دارد (مانند لایه های مرزی، شوک ها، یا نواحی با گرادیان بالا) ریزتر و در جاهای دیگر درشت تر می شود. این کار باعث صرفه جویی در حافظه و زمان محاسبات می شود و دقت را در نواحی بحرانی افزایش می دهد. AMR در شبیه سازی های اخترفیزیک، دینامیک سیالات، و احتراق کاربرد گسترده دارد.
شرح گام به گام: مراحل اصلی یک حل کننده با AMR:
۱. با یک شبکه اولیه (معمولا درشت) شروع کنید.
۲. حل عددی را روی شبکه فعلی انجام دهید.
۳. یک تخمین خطا یا یک شاخص (Indicator) برای شناسایی نواحی نیازمند شبکه ریزتر محاسبه کنید (مثلا گرادیان جواب، یا تخمین خطای موضعی).
۴. سلول هایی که شاخص آنها از آستانه تعیین شده بیشتر است، علامت گذاری کنید.
۵. شبکه را در آن نواحی ریزتر کنید (معمولا به روش تقسیم سلول ها).
۶. حل را روی شبکه جدید تکرار کنید (شاید با چند سطح تطبیق).
۷. گاهی سلول هایی که دیگر نیاز به ریزبودن ندارند، درشت تر می شوند (Coarsening).
۸. تا رسیدن به همگرایی یا پایان شبیه سازی ادامه دهید.
مثال عددی: شبیه سازی برخورد دو کهکشان. نواحی نزدیک به کهکشان ها گرادیان چگالی بالایی دارند و نیاز به شبکه ریز دارند، در حالی که فضای خالی بین آنها را می توان با شبکه درشت حل کرد. AMR به طور خودکار شبکه را در طول شبیه سازی تنظیم می کند.
مزایا: کارایی بالا، دقت کنترل شده، کاهش چشمگیر هزینه محاسباتی.
معایب: پیاده سازی بسیار پیچیده، نیاز به مدیریت داده های چندسطحی، ممکن است برای مسائل با تغییرات سریع ناپایدار شود.
کاربردها: در اخترفیزیک، در دینامیک سیالات، در احتراق، در شبیه سازی انفجار، در هواشناسی.
نکته: کتابخانه هایی مانند AMReX و BoxLib برای پیاده سازی AMR توسعه یافته اند.
