روش گالرکین ناپیوسته (Discontinuous Galerkin Method - DG)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش گالرکین ناپیوسته (Discontinuous Galerkin Method - DG) :
ترکیب FEM و FVM با امکان ناپیوستگی در مرز المان ها
توضیح ساده: روش گالرکین ناپیوسته (DG) یک روش عددی پیشرفته است که ویژگی های روش عناصر محدود (دقت بالا) و روش حجم محدود (پایستگی و پایداری) را ترکیب می کند. در این روش، جواب در هر المان با توابع پایه چندجمله ای تقریب زده می شود، اما برخلاف FEM استاندارد، نیازی به پیوستگی بین المان ها نیست. ناپیوستگی ها در مرز المان ها با جملات شار (Flux) که از روش های FVM اقتباس شده اند، کنترل می شوند. DG برای مسائل با شوک و ناپیوستگی (مانند دینامیک سیالات مافوق صوت) بسیار مناسب است.
شرح گام به گام: مراحل اصلی DG برای معادله انتقال u_t + (f(u))_x = 0:
۱. دامنه را به المان های (سلول های) مجزا تقسیم کنید.
۲. در هر المان، جواب را با چندجمله ای های درجه p تقریب بزنید (ضرایب مجزا در هر المان).
۳. معادله را در توابع آزمون (پایه) در هر المان ضرب کرده و روی المان انتگرال بگیرید.
۴. از انتگرال گیری جزء به جزء، جمله ای شامل شار در مرز المان ظاهر می شود.
۵. شار در مرز را با یک شار عددی (مثل شار بالاباد یا Lax-Friedrichs) از مقادیر چپ و راست المان تقریب بزنید.
۶. یک دستگاه معادلات برای ضرایب هر المان بدست می آید که از طریق شارها به المان های همسایه وابسته است.
۷. برای گام زمانی از روش های مناسب (مثل RK4) استفاده کنید.
مثال عددی: شبیه سازی موج ضربه ای در گازها. با روش DG و توابع پایه خطی (p=1)، موج ضربه ای به خوبی بدون نوسانات اضافی (با انتخاب شار مناسب) شبیه سازی می شود. این روش در نرم افزارهای CFD پیشرفته استفاده می شود.
مزایا: دقت بالا (با درجات بالاتر)، مناسب برای مسائل با شوک، پایستگی محلی، موازی سازی آسان.
معایب: هزینه محاسباتی بالاتر از FVM، پیچیدگی پیاده سازی، نیاز به انتخاب شار عددی مناسب.
کاربردها: در آیرودینامیک مافوق صوت، در مگنتوهیدرودینامیک، در شبیه سازی تسونامی، در آکوستیک.
نکته: روش DG در سال های اخیر بسیار محبوب شده و در نرم افزارهایی مانند deal.II و FEniCS پیاده سازی شده است.
