روش گالرکین (Galerkin Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش گالرکین (Galerkin Method) :
فرمول بندی ضعیف با توابع وزن برابر توابع پایه
توضیح ساده: روش گالرکین یک چارچوب قدرتمند برای تبدیل معادلات دیفرانسیل به دستگاه معادلات جبری است. این روش پایه ای برای روش عناصر محدود (FEM) و بسیاری از روش های دیگر است. ایده اصلی: جواب تقریبی را به صورت ترکیبی از توابع پایه بنویسید، معادله را در توابع وزن (که در گالرکین همان توابع پایه هستند) ضرب کنید، و در کل دامنه انتگرال بگیرید. این کار منجر به یک دستگاه معادلات برای ضرایب می شود. روش گالرکین برای معادلات خودالحاق (Self-adjoint) خواص بهینه ای دارد.
شرح گام به گام: برای معادله دیفرانسیل L(u) = f با شرایط مرزی:
۱. جواب تقریبی را به صورت
\[ u_h(x) = \sum_{j=1}^N c_j \phi_j(x) \]انتخاب کنید (φ_j توابع پایه).
۲. باقیمانده (Residual) را تعریف کنید:
\[ R(x) = L(u_h) - f(x) \].
۳. شرط گالرکین: باقیمانده بر فضای تولید شده توسط توابع پایه عمود باشد:
\[ \int_\Omega R(x) \phi_i(x) dx = 0, \quad i=1,...,N \]۴. با اعمال این شرط، یک دستگاه معادلات خطی (یا غیرخطی) برای ضرایب c_j بدست می آید.
۵. دستگاه را حل کنید.
۶. اگر معادله خودالحاق و مثبت معین باشد، جواب گالرکین بهترین تقریب در فضای توابع پایه از نظر انرژی است.
مثال عددی: معادله پواسون -u'' = f در [0,1] با u(0)=u(1)=0. با توابع پایه خطی (هات فانکشن) در FEM، روش گالرکین به دستگاه سه قطری معروف منجر می شود. جواب حاصل بهترین تقریب در فضای توابع خطی تکه ای است.
مزایا: پایه ای و اصولی، خواص بهینه برای مسائل خودالحاق، قابل استفاده برای انواع معادلات.
معایب: نیاز به انتگرال گیری عددی، انتخاب توابع پایه مناسب مهم است.
کاربردها: پایه ای برای FEM، در مکانیک جامدات، در انتقال حرارت، در دینامیک سیالات.
نکته: روش گالرکین به افتخار بوریس گالرکین، مهندس روسی، نامگذاری شده است.
