روش طیفی المانی (Spectral Element Method)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش طیفی المانی (Spectral Element Method) :
ترکیبی از دقت روش های طیفی و انعطاف پذیری روش عناصر محدود
توضیح ساده: روش طیفی المانی (SEM) یک روش عددی قدرتمند است که مزایای روش های طیفی (دقت بالا) و روش عناصر محدود (انعطاف پذیری در هندسه) را ترکیب می کند. در این روش، دامنه به المان های بزرگ تقسیم می شود (شبیه FEM)، اما در داخل هر المان، جواب با چندجمله ای های درجه بالا (معمولا ۵ تا ۲۰) تقریب زده می شود (شبیه روش های طیفی). این روش برای مسائلی با جواب های هموار در دینامیک سیالات، لرزه شناسی، و هواشناسی بسیار کارآمد است.
شرح گام به گام: مراحل اصلی SEM:
۱. دامنه را به المان های بزرگ (مثلا چهارضلعی در ۲D یا مکعبی در ۳D) تقسیم کنید.
۲. در هر المان، یک شبکه از نقاط گاوس-لوباتو-لژاندر (GLL) برای درون یابی در نظر بگیرید.
۳. جواب را در هر المان به صورت بسطی از چندجمله ای های لاگرانژ در نقاط GLL تقریب بزنید.
۴. فرمول بندی گالرکین (یا وردشی) را روی هر المان اعمال کنید.
۵. ماتریس های المان را مونتاژ کرده و دستگاه جهانی را تشکیل دهید.
۶. دستگاه را با روش های مناسب (معمولا تکراری) حل کنید.
۷. برای مسائل وابسته به زمان، از روش های گام زمانی مانند RK4 یا روش های ضمنی استفاده کنید.
مثال عددی: شبیه سازی امواج لرزه ای در زمین. زمین به المان های منحنی بزرگ تقسیم می شود. در هر المان، با چندجمله ای های درجه ۸، دقت بسیار بالایی حاصل می شود. این روش در نرم افزارهایی مانند SPECFEM برای شبیه سازی زلزله استفاده می شود.
مزایا: دقت بالا (شبیه روش های طیفی)، انعطاف پذیری در هندسه، مناسب برای امواج و مسائل با دقت بالا.
معایب: پیاده سازی پیچیده، نیاز به تولید شبکه با کیفیت، ماتریس های متراکم تر از FEM معمولی.
کاربردها: در لرزه شناسی، در آیرودینامیک، در اقیانوس شناسی، در دینامیک سیالات محاسباتی.
نکته: روش SEM در مدل سازی عددی زمین لرزه ها بسیار موفق بوده است.
