روش طیفی (Spectral Methods)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش طیفی (Spectral Methods) :
تقریب جواب با سری توابع متعامد (مانند سری فوریه یا چندجمله ای های چبیشف)
توضیح ساده: روش های طیفی (Spectral Methods) یک خانواده از روش های عددی با دقت بسیار بالا برای حل معادلات دیفرانسیل هستند. در این روش ها، جواب به صورت بسطی از توابع پایه متعامد (مانند سری فوریه، چندجمله ای های چبیشف یا لژاندر) در کل دامنه نوشته می شود. ضرایب بسط با استفاده از روش های هم محلی (Collocation)، گالرکین، یا تاو (Tau) تعیین می شوند. روش های طیفی برای مسائل با جواب های هموار (Smooth) به دقت نمایی (Spectral Accuracy) می رسند، یعنی با افزایش تعداد توابع پایه، خطا بسیار سریع کاهش می یابد.
شرح گام به گام: مراحل اصلی روش طیفی (گالرکین):
۱. جواب را به صورت u(x,t) ≈ Σ_{k=0}^N a_k(t) φ_k(x) تقریب بزنید، که φ_k توابع پایه متعامد هستند.
۲. معادله دیفرانسیل را در فضای توابع پایه ضرب کرده و انتگرال بگیرید (برای متعامد بودن).
۳. یک دستگاه معادلات دیفرانسیل معمولی (یا جبری) برای ضرایب a_k(t) بدست می آید.
۴. این دستگاه را حل کنید.
۵. در روش هم محلی، معادله را در نقاط خاصی (مثلا نقاط گاوس-لوباتو) ارضا کرده و دستگاه را حل می کنید.
روش های طیفی برای مسائل تناوبی با سری فوریه، و برای مسائل غیرتناوبی با چندجمله ای های چبیشف بسیار مؤثرند.
مثال عددی: معادله حرارت u_t = u_xx در [-1,1] با شرایط مرزی دیریشله. با روش طیفی چبیشف، جواب به صورت بسط در چندجمله ای های چبیشف نوشته می شود. با N=20، دقت به 10⁻¹⁴ می رسد، در حالی که روش تفاضلات محدود با هزاران نقطه به این دقت نمی رسد.
مزایا: دقت بسیار بالا (نمایی) برای جواب های هموار، همگرایی سریع، نیاز به تعداد کمی از درجات آزادی.
معایب: برای مسائل با ناپیوستگی یا مرزهای پیچیده دچار پدیده گیبس (Gibbs phenomenon) می شوند، برای هندسه های پیچیده مناسب نیستند، ماتریس های حاصل ممکن است پر باشند.
کاربردها: در دینامیک سیالات (شبیه سازی جریان های آرام)، در هواشناسی (مدل های جهانی جو)، در مکانیک کوانتومی، در تصویربرداری پزشکی.
نکته: روش های طیفی در مدل های پیش بینی آب و هوای جهانی استفاده می شوند.
