روش مرزی (Boundary Element Method - BEM)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش مرزی (Boundary Element Method - BEM) :
توضیح ساده: روش مرزی (BEM) یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی خطی است که معادله را به انتگرال هایی روی مرز ناحیه تبدیل می کند. برخلاف روش های حوزه (مانند FEM و FDM) که کل ناحیه را گسسته می کنند، BEM فقط مرز را گسسته می کند. این باعث کاهش ابعاد مسئله (از ۳D به ۲D، یا از ۲D به ۱D) و کاهش تعداد مجهولات می شود. BEM برای مسائل با مرزهای نامحدود (مانند مسائل آکوستیک در فضای باز) بسیار مناسب است.
شرح گام به گام: مراحل اصلی BEM برای معادله لاپلاس:
۱. معادله دیفرانسیل را به یک معادله انتگرالی مرزی تبدیل کنید (با استفاده از توابع گرین و قضایای انتگرالی).
۲. مرز ناحیه را به المان های مرزی (خطی، منحنی) تقسیم کنید.
۳. توابع پایه روی المان ها تعریف کنید (معمولا ثابت یا خطی).
۴. با اعمال شرایط مرزی، یک دستگاه معادلات خطی برای مقادیر مجهول روی مرز بدست آورید.
۵. دستگاه را حل کنید.
۶. پس از یافتن مقادیر روی مرز، می توانید جواب را در هر نقطه داخلی با انتگرال گیری مجدد محاسبه کنید.
مثال عددی: تحلیل میدان صوتی حول یک هواپیما. با BEM، فقط سطح هواپیما المان بندی می شود (نه فضای اطراف). معادله هلمهولتز روی سطح حل می شود و سپس میدان صوتی در هر نقطه از فضا محاسبه می گردد. این بسیار کارآمدتر از FEM است که نیاز به شبکه بندی حجم وسیعی از هوا دارد.
مزایا: کاهش ابعاد (شبکه بندی فقط مرز)، مناسب برای مسائل با مرزهای نامحدود، دقت بالا برای مسائل خطی.
معایب: فقط برای معادلات خطی با توابع گرین شناخته شده قابل استفاده است، ماتریس های حاصل پر و غیرمتقارن هستند، برای مسائل غیرخطی و ناهمگن پیچیده می شود.
کاربردها: در آکوستیک، در الکترومغناطیس، در مکانیک شکست، در پتانسیل سیال، در تحلیل سازه های دریایی.
نکته: BEM برای مسائل با نسبت سطح به حجم کم (مثل اجسام باریک) بسیار کارآمد است.
