روش حجم محدود (Finite Volume Method - FVM)، در ریاضیات (Mathematics)
انواع روش های عددی (Numerical Methods) را در آموزش زیر شرح دادیم :
روش حجم محدود (Finite Volume Method - FVM) :
توضیح ساده: روش حجم محدود (FVM) یک روش عددی برای حل معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی است که بر اساس فرم انتگرالی قوانین پایستگی (مثل پایستگی جرم، اندازه حرکت، و انرژی) بنا شده است. در این روش، ناحیه حل به حجم های کنترلی (Control Volumes) تقسیم می شود و معادلات روی هر حجم انتگرال گیری می شوند. FVM به طور طبیعی پایستگی را در سطح گسسته حفظ می کند و برای مسائل دینامیک سیالات بسیار محبوب است. این روش در نرم افزارهای CFD مانند Fluent و OpenFOAM استفاده می شود.
شرح گام به گام: مراحل اصلی FVM برای معادله انتقال-پخش (Advection-Diffusion):
۱. ناحیه حل را به حجم های کنترلی تقسیم کنید (شبکه ممکن است سازمان یافته یا بی سازمان باشد).
۲. معادله دیفرانسیل را روی هر حجم کنترلی انتگرال بگیرید و از قضیه دیورژانس برای تبدیل انتگرال حجمی به انتگرال سطحی استفاده کنید.
۳. شارها (Fluxes) را روی وجوه هر حجم با استفاده از مقادیر در مراکز حجم ها تقریب بزنید (مثلا با روش بالاباد).
۴. یک معادله جبری برای هر حجم کنترلی بدست می آید که به مقادیر در حجم های مجاور وابسته است.
۵. دستگاه معادلات حاصل را حل کنید (معمولا با روش های تکراری).
۶. برای مسائل وابسته به زمان، از گام زمانی مناسب استفاده کنید.
مثال عددی: جریان سیال در یک کانال. با FVM، کانال به سلول های مکعبی تقسیم می شود. شار جرم از هر وجه با استفاده از سرعت در مرکز سلول و سلول همسایه محاسبه می شود. معادله پیوستگی برای هر سلول به صورت گسسته نوشته می شود و دستگاه معادلات برای سرعت و فشار حل می شود (روش هایی مانند SIMPLE).
مزایا: پایستگی ذاتی (مزیت بزرگ برای دینامیک سیالات)، انعطاف پذیری در شبکه بندی، مناسب برای مسائل با شوک و ناپیوستگی.
معایب: دقت ممکن است برای برخی مسائل محدود باشد، پیاده سازی برای شبکه های بی سازمان پیچیده است.
کاربردها: استاندارد اصلی در دینامیک سیالات محاسباتی (CFD)، در انتقال حرارت، در هواشناسی، در اقیانوس شناسی.
نکته: FVM به دلیل حفظ پایستگی، روش انتخابی برای شبیه سازی های جریان سیال است.
